图的基本量
点和线，两样东西。竞赛题里凡是"谁和谁有关系""怎么从这里到那里""去掉谁会散架"，剥开故事外壳都是图问题。这一页先把词汇和直觉建起来：度、路径、连通分量、二分性，以及一个常被忽略的事实——同一张图可以画得完全不一样。
LAB 01
画一张图
鼠标加点连边，实时显示度序列、连通分量、是否二分
问题
电网、地铁、论文引用、蛋白质相互作用——把它们都抽象成"点和线"之后，还剩下什么可以谈？这一台先把最基础的几把尺子摆出来：谁连得多、网散没散、能不能分成两边。
模型
图 G = (V, E)。最基本的三个量：
度 ki = Σj Aij， 平均度 ⟨k⟩ = 2|E| ⁄ |V|， 密度 = 2|E| ⁄ (|V|(|V|−1))
A 是邻接矩阵（相连为 1）。二分图判定用两染色：能把所有点染成两色且每条边两端不同色。点数 / 边数—
平均度 / 最大度—
连通分量数—
是否二分—
直径 / 平均路径长—
点一下画布加点，拖一个点到另一个点上连边。加边的时候盯住读数：平均度刚过 1 的时候，连通分量数会突然塌下来——这就是上一模块渗流那一页的同一件事，换成了图的语言。另外注意二分性：只要出现一个奇数长度的圈，二分性立刻消失，而"是不是二分图"直接决定了排班、指派这类问题能不能用匹配算法解。
LAB 02
邻接矩阵与幂
矩阵 Aᵏ 的第 (i,j) 项就是长度 k 的路径条数——并排验证
问题
"从 A 到 B 有几条长度恰好为 3 的路？"——逐条数会数到崩溃，但矩阵乘法一次就给出全部答案。这条性质是很多网络算法的地基，也是 PageRank、谱聚类这些方法能成立的原因。
模型
邻接矩阵的幂直接数路径条数（可重复经过点）。
(Ak)ij = 从 i 到 j 长度恰为 k 的路径条数， (A³)ii ⁄ 2 = 过点 i 的三角形数
Ak 的对角线特别有用：A² 的对角就是度数，A³ 的对角除以 2 就是每个点参与的三角形个数。长度 k 的途径总数—
对角线之和（回到自己）—
k 步内可达的点对占比—
邻接矩阵的 k 次幂，第 (i,j) 项就是从 i 到 j 长度恰好为 k 的途径条数。这条性质是很多图算法的底层：k=2 时它数的是"共同邻居"，直接给出相似度；让 k 增大到矩阵不再出现 0，就得到了图的直径。把它和马尔可夫链那一页对照着看——转移矩阵的幂算的是同一件事，只是把计数换成了概率。
LAB 03
图的布局
力导向、圆周、分层三种布局切换，说明「同一张图可以长得很不一样」
问题
同一张图可以画成完全不同的样子——那么"看起来像什么"到底是图的性质，还是画法的性质？这一台切换三种布局，提醒一件容易忘的事：拓扑不变，图像随便变。
模型
力导向布局把图当成弹簧-斥力系统，最小化一个能量。
E = Σ(i,j)∈E ½k(‖xi−xj‖−L)² + Σi≠j C ⁄ ‖xi−xj‖
第一项是边当弹簧（理想长度 L），第二项是所有点互相排斥。这是一个非凸优化，初值不同结果就不同——所以同一张图每次画出来都不太一样。边的交叉数—
平均边长—
图本身有没有变—
五种布局画的是同一张图——点数、边数、每条边连的是谁，一个都没变。但读者从图里"看出"的东西完全不同：力导向让社区凸显，分层布局让距离关系凸显，圆周布局什么都不强调因而最"公正"。论文里放网络图时要意识到这一点：布局是你对读者做的一次加工，它和配色、坐标轴一样，属于需要说明的可视化选择。
这一页想说的
这一页没有算法，只有词汇和直觉。但把"度分布、连通性、二分性、直径"这四件事养成习惯先看一眼，后面选算法基本就不会错方向了：稀疏还是稠密决定用邻接表还是矩阵，连不连通决定要不要先分量分解，二不二分决定匹配算法能不能用，直径多大决定 BFS 能不能顶用。