多目标优化

把相关性从 −0.6 拖到 +0.9。两个目标不再冲突以后，前沿会迅速塌缩成很少的几个点——极端情况下只剩一个，这时问题其实退化成了单目标。反过来拖到 −0.95，前沿会占到全部方案的相当大一部分。这就是多目标问题的难度来源：难的不是"目标多"，而是"目标互相冲突"。再看最后那个读数：只看成本的最优方案和只看工期的最优方案，它们一定都在前沿上（前沿的两个端点），但通常是整条前沿上最极端、也最不适合直接采纳的两个。决策者真正想看的，往往是中间那一段"多花一点钱能省很多时间"的位置——而这种位置只有把整条前沿画出来才看得见。

先看凹前沿。把权重 w 从 0 慢慢推到 1，解出来的点只会在两个端点之间"跳"一次，中间那一大段永远扫不到。原因在图上是直接可见的：加权和的等值线是一条直线，它从外面往里压，最先碰到的一定是凸包上的点；而凹陷段整个躲在凸包里面，直线永远够不着它。这不是算法不够好，是方法本身的盲区。ε-约束法换了个思路：固定一个目标的上限，去优化另一个。它每次解的是一个带约束的单目标问题，所以凹凸都能扫到，代价是要解很多次、而且 ε 的取值范围需要事先估计。切回凸前沿看看：这时两种方法扫出来的点几乎重合，权重法因为实现简单反而更划算。结论不是"权重法不好"，而是"用它之前要先知道前沿是不是凸的"——而这件事在真实问题里你通常并不知道。

NSGA-II 只做两件事，这个实验台把它们拆开了。第一件是非支配排序：把种群一层一层剥开，第一层是当前的前沿，剥掉之后剩下的再排第二层，依此类推。选择时优先保留层级靠前的——这保证了收敛，也就是往真前沿压。第二件是拥挤距离：同一层里，优先保留周围邻居稀疏的个体。这保证了分布，也就是沿着前沿铺开而不是挤成一团。把"用拥挤距离"关掉跑几十代：收敛读数不会明显变差，但间距标准差会大幅上升，图上能直接看到点聚成几团、前沿两端空出来。这就是为什么多目标算法必须同时报告两个指标——只报收敛性的论文，等于只说了一半。