二维系统与相图

右下那张 tr–det 平面是二维线性系统的完整分类图，一张图就够了。det < 0（横轴下方）一定是鞍点；det > 0 时再看迹：迹 < 0 是稳定、迹 > 0 是不稳定；抛物线 tr² = 4det 把结点和焦点分开——抛物线内侧特征值是复数，轨线会转圈；外侧是实数，轨线直着进出。整条纵轴（tr = 0, det > 0）是中心，闭轨。但请注意一件重要的事：中心是结构不稳定的——把迹调成 0.01 或 −0.01，闭轨立刻变成向外或向内的螺旋。这意味着现实中"完美的周期振荡"几乎不可能来自这种机制，因为任何微小扰动都会破坏它。真实系统里的持久振荡通常来自极限环（本页最后一个实验台），那是结构稳定的。非线性系统在平衡点附近的行为，由雅可比矩阵的这张图决定——这就是线性化方法的全部内容，也是它在 tr = 0 附近失效的原因。

经典 Lotka–Volterra 的内部平衡点是个中心，所有轨线都是闭轨。这看起来很像现实中的种群周期波动，但它有个致命的性质：轨道的大小完全由初值决定。也就是说，系统"记住"了它从哪出发，扰动一次就永久换一条轨道。真实的捕食-被捕食系统显然不是这样——受到一次干扰之后它们会回到原来的波动幅度。把"密度制约"从 0 往上调一点，闭轨立刻变成向内的螺旋。这个小小的修正（猎物自身也有容量上限）把中心变成了稳定焦点，系统从"结构不稳定的永久振荡"变成了"扰动后会回到平衡"。这两种定性行为对应着完全不同的生态学结论，而它们的差别只是模型里多了一项。这一页最值得记住的一句话：中心这种结构在建模里几乎总是一个警告信号，说明你的模型太干净了。

R₀ 跨过 1 的时候，SIR 的行为发生质变。R₀ < 1 时感染曲线单调下降，从一开始就没起来；R₀ > 1 时先涨后落，出现一个峰。这个分界完全由 β/γ 决定，跟初始感染者有多少无关——初值只影响峰来得早晚，不影响峰会不会出现。再看"已免疫比例"这个控制。把它调到 1 − 1/R₀ 以上，有效再生数就掉到 1 以下，疫情起不来——这就是群体免疫阈值的全部推导。R₀ = 2.67（默认参数）时这个阈值是 62.5%，你可以把滑杆推到 63% 验证一下。最后注意"最终感染总比例"这个读数：它不等于 1。即使 R₀ 很大，疫情也会在还有一部分易感者时自己停下来，因为感染者的减少速度超过了新感染的产生速度。这个数值满足一个超越方程（最终规模方程），没有初等解析解，但它是流行病学里最常被引用的量之一。

范德波尔方程 x″ − μ(1 − x²)x′ + x = 0 的关键在那个 (1 − x²)。|x| < 1 时阻尼项是负的（往系统里注入能量），|x| > 1 时是正的（耗散能量）。于是小振幅被推大、大振幅被压小，最后停在一个"刚刚好"的幅度上——这就是极限环。把起点分别放到环内和环外，两条轨线最后会贴到同一条闭曲线上。这和上一个实验台里的中心形成鲜明对比：中心的轨道由初值决定，极限环的轨道由方程本身决定。后者才是现实中持久振荡的常见来源——心跳、萤火虫齐闪、电子振荡电路、经济周期模型，都是极限环而不是中心。再把 μ 从 0.1 拉到 5：μ = 0.1 时波形接近正弦、周期 6.29（几乎正好是 2π）；μ = 5 时变成"慢慢充电、突然放电"的弛豫振荡，周期拉长到 11.6。（常引用的渐近公式 (3 − 2ln2)μ ≈ 1.61μ 要到 μ 更大时才准，在 μ = 5 处还差得比较远——渐近公式要看它的适用范围。）同一个方程，换个参数就换了一种物理图景。