微分方程与差分方程
描述「变化」的语言。连续的用微分方程，离散的用差分方程，两边讲的是同一件事。
这个模块讲什么
建模里最常出现的一类问题是「给定当下，推演未来」。这个模块不从求解技巧入手，而是先建立几何直觉：方向场告诉你解会往哪走，相图告诉你系统的长期命运，分岔图告诉你参数越过某个值时会发生什么。会画这三张图，很多不会解的方程也能说清楚它的行为。
8专题
32实验台
专题列表
每个专题是一个独立页面，页内按实验台组织。下面列出的是每一页会做的实验。
6.1
一阶方程与方向场
已上线不解方程也能知道解长什么样。方向场 + 平衡点稳定性，是最省力的一套分析。
01方向场输入 dy/dx=f(x,y)，画箭头场，点击任意点画出过该点的解曲线
02平衡点与相线一维自治系统的相线，稳定与不稳定平衡点自动标注
03指数与逻辑斯蒂增长同一份初始数据，两个模型的长期预测差多少
04牛顿冷却实测降温数据拟合，参数估计与预测区间
6.2
二维系统与相图
已上线两个变量互相影响，轨道在平面上盘旋、收敛或发散。捕食者-被捕食、SIR、竞争模型都在这一张图里。
01线性系统分类调雅可比矩阵的迹与行列式，在 tr–det 平面上看结点、鞍点、焦点、中心的分界
02Lotka–Volterra参数一变，周期轨道的形状与周期跟着变；加上密度制约后闭轨变成螺旋
03SIR 传染病调 β 与 γ，看 R₀ 跨过 1 时疫情曲线的质变
04极限环范德波尔振子：不管从哪出发都被吸到同一条闭轨上
6.3
分岔与混沌
已上线参数连续变化，行为却在某些点上突然改变。倍周期通往混沌的那条路，是 20 世纪最漂亮的发现之一。
01Logistic 映射蛛网图与时间序列并排，r 从 2.5 调到 4 一路看过去
02分岔图高分辨率绘制倍周期级联，可框选放大看自相似
03洛伦兹吸引子三维轨道实时绘制，初值差 0.0001 的两条轨道多久分道扬镳
04李雅普诺夫指数量化「对初值的敏感依赖」，与分岔图对齐显示
6.4
差分方程
已上线离散时间的递推。斐波那契、复利、种群世代——特征根决定一切。
01线性递推与特征根调系数，看特征根在复平面上的位置怎么决定增长、衰减或振荡
02蛛网图一阶非线性递推的收敛与发散，一张图看完
03离散 vs 连续同一个逻辑斯蒂模型，离散版会混沌、连续版永远单调
04莱斯利矩阵按年龄分组的种群预测，主特征值就是长期增长率
6.5
数值解法
已上线解析解通常不存在。欧拉法、龙格-库塔、步长与误差，是把方程变成代码的那一步。
01欧拉法与误差步长减半，误差怎么变；与精确解叠加对比
02RK4同样步长下精度差几个数量级
03步长与稳定性刚性方程上步长稍大就发散的现场
04能量守恒长时间积分中，不同方法的能量漂移对比
6.6
偏微分方程入门
已上线常微分方程只有时间一个自变量，偏微分方程多了空间。热怎么扩散、波怎么传、污染物怎么随流漂走，都在这三类方程里。
01热传导方程一根铁棒一头加热，看温度怎么被抹平；扩散系数一调，快慢立刻变
02波动方程同样的初始形状，热方程把它抹平，波方程把它劈成左右两半
03对流扩散污染团一边扩散一边被水流带走，Péclet 数决定谁说了算
04稳定性与 CFL 条件时间步长过了那条线，数值解当场炸给你看
6.7
控制与反馈
已上线系统偏了就往回拉，这就是反馈。空调、巡航定速、无人机姿态，背后都是同一个 PID。
01开环与闭环有没有那条反馈线，抗扰动能力差了一个数量级
02PID 三个参数比例快但有稳态误差，积分消误差但会超调，微分压住震荡
03极点配置把闭环极点放到左半平面的不同位置，响应形状随之改变
04时滞会毁掉一切反馈慢半拍，原本稳定的系统开始自激振荡
6.8
用数据定参数
已上线方程写好了，参数从哪来？把"解方程"和"最小二乘"套在一起，就是参数辨识；再问一句"这个参数可信吗"，就是灵敏度与可辨识性。
01拟合一条增长曲线Logistic 的三个参数，用数据拟出来并看残差
02灵敏度分析哪个参数动一点结果就大变，哪个动很多也没反应
03可辨识性两个参数只以乘积出现时，数据再多也分不开它们
04噪声与参数不确定同一条真实曲线加不同噪声重拟 200 次，看估计值散成什么样