线性规划

把 c₁ 从 40 慢慢拖到 70，盯着最优点。它不会连续地滑动，而是在某个时刻"啪"地跳到另一个顶点上。这是线性规划最基本的性质：目标函数是线性的，所以最优值一定在可行域的某个顶点取到（除非目标等值线正好和某条边平行，那时整条边都是最优解，你可以把 c₁ 调到 60、c₂ 调到 30 试试）。顶点只有有限个——这就是单纯形法敢于"只在顶点之间跳"的全部理由。再试试把 b₂ 拖到 200：原来紧绷的那条约束松掉之后，最优点会沿着另一条约束继续往外走，直到撞上新的限制。

下面那张表就是单纯形表，最后一行是检验数。只要还有负的检验数，就说明把对应的变量抬起来还能让目标变大，于是它入基；比值检验（最小的 b/a）决定谁出基——它保证下一步还留在可行域里。全部检验数非负时就停下，此时的解就是最优解。把 c₁ 调到 20，再在两种规则之间来回切：Dantzig 看检验数，−30 比 −20 更负，于是先抬 x₂，从原点走到 (0, 40)；Bland 只看下标，先抬 x₁，走到 (50, 0)。两条路都是两步到最优，但走的是可行域的两侧。Bland 规则的价值不在快，而在它能保证不循环；实践中几乎都先用 Dantzig，真遇上循环再切过去。顺便注意第 0 步在原点：所有松弛变量入基、所有决策变量为 0，这就是"b ≥ 0 时原点天然可行"这个便利条件的用处。

影子价格就是那条折线在当前位置的斜率，不多也不少。默认参数下 y₁ ≈ 16.67、y₂ ≈ 6.67、y₃ = 0。y₃ 等于零是因为原料还有余量——买再多原料也不会多赚一分钱，这条信息比"原料很重要"这种直觉可靠得多。注意曲线是分段线性且上凸的：在 b₁ = 40 和 b₁ = 160 处有拐点，过了拐点斜率就变，说明"每多一个机器工时值 16.67 元"这句话有有效范围，超出范围就不成立了。现实里这一点常被忽略：用影子价格做决策，必须同时报出它的适用区间。

默认参数下 c₁ 可以在 15 到 60 之间随便动，最优顶点都还是 (40, 20)。这个区间是这么来的：顶点 (40,20) 是约束 ①（斜率 −2）与 ②（斜率 −1/2）的交点，只要目标等值线的斜率 −c₁/c₂ 夹在这两个斜率之间，最优点就不会挪窝——也就是 c₁/c₂ ∈ [0.5, 2]，在 c₂ = 30 时就是 c₁ ∈ [15, 60]。右下角那张图把 c₁ 从 0 扫到 100，可以看到 x* 是一条阶梯：在区间内部完全不动，到了端点一步跳过去。这就是为什么灵敏度分析在建模里这么重要——你估的成本系数往往有 ±20% 的误差，但只要落在允许区间内，方案根本不用改。