随机游走与布朗运动
随机游走是随机过程里最朴素的一个，也是最有用的一个。它是扩散方程的微观解释、是布朗运动的离散原型、是股价模型的骨架，也是很多蒙特卡洛算法的引擎。这一页只想把一件事讲透：为什么距离长得像 √n，而不是 n。
LAB 01
一维随机游走
几十条轨迹同时跑，看它们张开成一个 √n 的喇叭口
问题
抛硬币记输赢、股价的日涨跌、分子被撞来撞去——都是"一堆独立的小步加起来"。问题是：加起来之后会走多远？直觉容易答成"走 n 步就离开 n"，但那是错的。
模型
位置是独立增量之和，方差可加，所以典型位移按 √n 增长。
Sn = Σk=1..n Xk， E[Sn] = 0， Var(Sn) = nσ²， 典型位移 ~ σ√n
Xk 是每一步（±1，均值 0，方差 σ²）。喇叭口的边界正是 ±σ√n。末端位置的均方根（3000 条）—
√n—
末端位置的平均—
理论漂移 (2p−1)n—
先看 50%：所有轨迹的平均是 0，但它们摊开的宽度不是 0。这是随机游走最容易被误解的一点——"平均不动"不等于"待在原地"。读数里的均方根和 √n 几乎一样：n=400 时是 19.9 对 20.0，n=1600 时是 41.0 对 40.0。把步数翻四倍，宽度只翻两倍。这个 √n 不是巧合，而是方差可加：每一步的方差是 1，n 步独立相加方差就是 n，标准差自然是 √n。所有"独立误差累积"的问题都长这个样子——这也是为什么蒙特卡洛的精度按 1/√n 提高，要多一位有效数字就得多算一百倍。现在把概率拖到 55%。漂移项 (2p−1)n 按 n 线性增长，而随机的宽度还是按 √n 增长。只要有一点点偏向，走得足够远，趋势就一定压过噪声——n=400 时漂移 40，宽度 20，趋势已经清清楚楚。判断一条序列"有没有趋势"，本质上就是在比这两个量。
LAB 02
二维游走与扩散
一群粒子从一点出发，浓度分布慢慢长成一个高斯
问题
一滴墨水滴进水里，它散开的形状为什么总是高斯的，而且半径按 √t 长？污染物扩散、药物在组织里的分布、热量的传导，问的都是这一件事。
模型
大量独立小步的和趋于高斯（中心极限定理），其密度正好满足扩散方程。
∂c/∂t = D ∇²c， c(r,t) ∝ t−d/2 exp( −r² ⁄ 4Dt )， ⟨r²⟩ = 2dDt
D 是扩散系数，d 是空间维数。⟨r²⟩ ∝ t 正是"半径按 √t 长"的另一种写法。实测均方位移 ⟨r²⟩—
理论值 = t—
典型离开距离 √⟨r²⟩—
⟨r²⟩ / t—
一群粒子从同一个点出发，最后摊成一个中间浓、边缘稀的圆斑。这个圆斑就是高斯分布，而它随时间变宽的方式正是扩散方程说的那件事——把无数个"一步一步乱走"叠在一起，宏观上就是扩散。下面那条 ⟨r²⟩ 曲线几乎和 45° 直线重合：t=400 时实测 402.6，t=1600 时实测 1643.6，均方位移与时间成正比，比例系数是 1（每步走一格）。这就是爱因斯坦 1905 年那篇论文的核心关系 ⟨r²⟩=2dDt——他用它从布朗运动反推出了分子的大小，这是历史上第一次有人量出原子。注意这里的实用含义：距离按 √t 长，面积按 t 长。一个纯靠扩散的过程要覆盖十倍远的距离，要花一百倍的时间。这就是为什么细胞必须很小（营养靠扩散进不了大细胞），为什么肺要长成分形（扩散只在最后零点几毫米有效），为什么搅拌比等待快得多。
LAB 03
从游走到布朗运动
步长越来越小、步数越来越多，折线自己变成连续曲线
问题
真实世界里价格是连续变的，分子是连续动的，而我们的模型是一步一步跳的。把步子改小、步数改多，这两者会不会接上？接上的那个极限，正是随机分析整座大厦的地基。
模型
让步长 ~ √Δt、步数 ~ 1/Δt 同时取极限，折线收敛到布朗运动（Donsker 不变原理）。
W(t) = limΔt→0 √Δt · S⌊t/Δt⌋， W(t) − W(s) ~ N(0, t − s)
缩放必须是 √Δt：缩小一点点时间，位移要按平方根缩。这也是布朗运动处处连续却处处不可导的原因。实际步数 N—
二次变差 Σ(ΔW)²—
总变差 Σ|ΔW|—
√N—
把 k 从 4 拖到 16，看那条折线怎么从几段直线变成一团毛。每一步的大小是 1/√N，步数是 N。这个缩放不是随便选的：只有按 1/√N 缩小步长，折线才会收敛到一个既不消失也不发散的极限，这个极限就是布朗运动。（如果按 1/N 缩，曲线会被压平成一条直线；如果不缩，它会跑到无穷远。）关键在两行读数上。二次变差 Σ(ΔW)² 永远精确等于 1，和 k 完全无关——因为 N 步每步贡献 (1/√N)²=1/N。而总变差 Σ|ΔW| = √N，随着 k 一路涨到 256。这两句话合起来说的是：布朗运动的路径长度是无穷的，但它的"平方长度"是有限的。这正是它处处连续却处处不可导的原因，也是为什么伊藤微积分里 (dW)²=dt 这条看着很怪的规则是对的——随机微积分之所以要重写一遍，就是因为这个 dt 不能忽略。
LAB 04
几何布朗运动
股价模型：为什么对数收益才是那个加起来的量
问题
股价不会变成负数，而且涨跌是按比例来的——涨 10% 再跌 10% 回不到原点。所以直接对价格做随机游走是错的。那应该对什么做？这一台给出金融里最常用的那个模型，以及它为什么长这样。
模型
对对数价格做随机游走，就是几何布朗运动。
dS = μ S dt + σ S dW， S(t) = S₀ exp[ (μ − σ²/2) t + σ W(t) ]
μ 是漂移率，σ 是波动率。注意指数里的 −σ²/2：这一项来自伊藤引理，也是"波动本身会吃掉收益"的数学来源。模拟的期末中位数—
理论中位数 100·e^((μ−σ²/2)T)—
模拟的期末平均—
理论平均 100·e^(μT)—
把波动率拖到 40%，漂移保持 8%，然后盯住那两条参考线。绿点线（期望）一路向上，五年后到 149；蓝虚线（中位数）却是一条水平线，五年后还是 100。"平均赚 49%"和"一半的人一分没赚"同时成立。原因写在指数里：中位数按 e^((μ−σ²/2)T) 走，均值按 e^(μT) 走，差了一个 σ²/2。当 σ²/2 = μ 时（这里 0.4²/2 = 0.08 = μ），中位数恰好不动。这个 σ²/2 叫做波动率拖累，它是对数正态分布右偏的直接后果：少数极大的结果把平均数拉了上去，而大多数路径在平均数以下。实践含义相当硬：一个年均收益率报出来很好看的产品，如果波动很大，典型投资者的实际体验会差得多；几何平均（复合增长率）永远小于算术平均，差额约等于 σ²/2。把波动率降到 10% 再看一遍——两条线几乎贴在一起。降低波动本身就是在提高中位收益，哪怕期望收益一点没变。
这一页想说的
随机游走把三件看起来无关的事连成了一条线：扩散、布朗运动、股价。贯穿它们的是同一个 √n——方差可加，标准差按平方根增长。记住三个由此而来的结论：蒙特卡洛的精度按 1/√n 提高；扩散覆盖距离的时间按平方增长；对数正态下的中位数比均值低一个 σ²/2。这三句话在后面的 MCMC、偏微分方程和金融建模里都会再用到。