平稳性与自相关

ACF 和 PACF 的"截尾 / 拖尾"组合就是 Box–Jenkins 定阶法的全部内容。AR(p)：ACF 拖尾（指数或振荡衰减），PACF 在第 p 阶之后截断。默认的 AR(1) φ=0.7：ACF 是 0.7、0.49、0.34…（每阶乘 0.7），而 PACF 只有第一阶显著，后面全落进置信带里。MA(q)：正好反过来——ACF 在第 q 阶之后截断，PACF 拖尾。MA(1) θ=0.6 的理论 ACF(1) = θ/(1+θ²) = 0.44，ACF(2) 起就是 0。ARMA：理论上两边都拖尾。但样本里往往没这么干净——默认参数下这个实验台对 ARMA(1,1) 给出的建议是 "AR(3)"；同样，MA(1) 那一栏会同时给出 "AR(2) / MA(1)" 两种可能，因为 PACF 的第二阶恰好越过了置信带。图形定阶给的是候选，不是答案；最后拍板要靠 AIC/BIC 加残差检验。把样本长度从 300 缩到 60 再看一眼。置信带（±1.96/√n）明显变宽，很多本来显著的相关变得不显著了——"看不出结构"和"没有结构"是两件事，样本量小的时候尤其要分清。

差分是把非平稳变平稳最省事的办法，但它不是越多越好。选"趋势 + 季节 + 噪声"，先做一阶普通差分：斜率立刻掉到 0 附近，但 ACF(12) 还很大——季节还在。再加一阶季节差分，ACF(12) 从 +0.78 变成 −0.48。这就是 ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)ₛ 里 d 和 D 分别在做的事。但请注意它并没有落回 0 附近，而是掉到了负值：这份数据的季节是确定性的（一个固定的正弦），对确定性季节做差分本身就已经属于差分过头。真正对症的做法是用季节哑变量或傅里叶项去回归；差分擅长对付的是随机性的季节——每年的形状自己在随机游走。现在故意做过头：把普通差分调到 2 或 3。看标准差这个读数——它不降反升。过度差分会把噪声放大（每差分一次方差大致翻倍），同时在 ACF 上人为造出一个 −0.5 左右的一阶负相关。那是差分本身的产物，不是数据的性质，而基于它定出来的 MA 阶数是假的。实用判据：差分到序列看起来围绕一个固定水平波动就停，每多做一阶都要有明确理由。另外注意读数里"还剩多少个点"：每做一阶季节差分要丢掉 12 个点，短序列上这个代价不小。

这一页最该记住的一张图。图上那条线是纯随机游走——每一步只是上一步加一个独立的随机数，里面没有任何趋势。但它看起来像有趋势，而且对它做线性回归，斜率的 t 检验常常给出"高度显著"。换几个种子看看：大部分路径都能拟合出一条像模像样的直线，R² 还不低。右下那张图把这件事量化了：重复几百次，按常规 5% 显著性水平判定，被判为"有显著趋势"的比例不是 5%，而是 86%（序列越长越糟：长度 30 时是 80%，长度 400 时已经到 95%）。也就是说，在随机游走上做普通回归，假阳性率高得离谱。这就是伪回归（spurious regression）现象，Granger 与 Newbold 1974 年那篇论文讲的就是它。正确的做法是先做单位根检验（ADF、KPSS），确认序列平稳之后再回归；或者直接对差分后的序列建模。很多"A 和 B 高度相关"的经济学结论，在做了这一步之后就消失了。