分支过程与阈值
每个个体平均留下几个后代——这一个数决定了一个种群、一场疫情、一次链式反应是熄灭还是爆发。高考那道微生物题问的就是这条分界线，而且它给的数据正好踩在线上。
本页题目
微生物会不会灭绝：一道高考题里的临界点
（1）已知 p₀ = 0.4，p₁ = 0.3，p₂ = 0.2，p₃ = 0.1，求 E(X)；
（2）设 p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于 x 的方程 p₀ + p₁x + p₂x² + p₃x³ = x 的一个最小正实根，求证：当 E(X) ≤ 1 时，p = 1；当 E(X) > 1 时，p < 1；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义。
第(1)问一行：E(X) = 0×0.4 + 1×0.3 + 2×0.2 + 3×0.1 = 1。
第(2)问才是这道题。记 f(x) = p₀ + p₁x + p₂x² + p₃x³，先看两件白送的事实：
f′(1) = p₁ + 2p₂ + 3p₃ = E(X) ⇒ 斜率在 x = 1 处正好等于平均后代数
于是问题不是「解这个方程」，而是「1 是不是最小的那个正根」。令 g(x) = f(x) − x，则 g(0) = p₀ > 0、g(1) = 0、g′(1) = E(X) − 1，而 g″(x) = 2p₂ + 6p₃x ≥ 0，g 在 [0, 1] 上是凸的。凸性把两种情形都按死了：
又 g(0) = p₀ > 0，故 [0,1) 上无根，最小正实根 = 1
E(X) > 1 ⇒ g′(1) > 0 ⇒ x 略小于 1 时 g < 0，而 g(0) > 0 ⇒ (0,1) 内有根 ⇒ 最小正实根 < 1
把第(1)问那组数代回去，还能看到一件事：f(x) = x 化成
x = 1 是二重根。这不是巧合——E(X) = 1 意味着 g′(1) = 0，而 g(1) = 0 且 g′(1) = 0 正是「1 是重根」的定义。换句话说，命题给的这组数据正正好好落在分界线上：既不是必然灭绝的内部，也不是可能存活的那一侧，而是那条线本身。第二张图上能直接看见这件事：f 的曲线在 x = 1 处与对角线相切。
第(3)问要的那句话：每个个体平均留下的后代数只要不超过 1，这个种群迟早会灭绝，概率是 1；只有平均后代数大于 1，才有正的概率永远传下去。
这道题在数学上有名字：Galton–Watson 分支过程，1874 年提出，至今是随机过程课里的第一个非平凡例子。第(2)问那条结论就是它的核心定理，而且阈值恰好界在 m = 1。
先说命题给的数据有多讲究。三次式分解成 (x − 1)²(x + 4)，x = 1 是二重根；二重根的几何含义是 f 的曲线在 x = 1 处与对角线相切——第二张图上能直接看见那道缝。m < 1 时曲线整条压在对角线上方，m > 1 时曲线提前穿过对角线、在 1 的左边多出一个交点。相切，就是临界。把四个概率随便改一改，相切立刻破掉，这组数据是特意摆在分界线上的。
第二张图还有一层意思。从 x = 0 出发反复迭代 x ← f(x)：q₁ = f(0) = p₀ 是「第一代就绝后」的概率，q₂ = f(q₁) 是「两代之内绝后」，以此类推。所以「最小正实根」不是一个解方程技巧，它就是 q_n 的极限。代数和概率在这张图上是同一件事，而那条橙色折线越爬越慢，正因为它被挤在曲线与对角线相切的缝里。
期望活着，个体几乎全死光。m = 1 时 E(Z_n) = mn = 1，每一代的期望个体数恒等于 1，一万代之后还是 1。可第一张图里绝大多数谱系早已归零：实验台按默认参数模拟 1200 条谱系，10 代后 86.58% 已经灭绝，40 代后 96.08%，120 代后 98.50%。期望没有下降，是因为活下来的极少数越长越大，几条撑起了全部的平均。这是「平均数会骗人」最干净的例子：分布在往两端逃，而均值一动不动。碰上这种分布，只报一个均值等于什么也没说。
「必然灭绝」不等于「很快灭绝」。临界情形的存活概率不是指数衰减，而是按 1/n 衰减——Kolmogorov 1938 年给出 P(第 n 代仍存活) ≈ 2/(σ²n)。本题 σ² = E(X²) − 1 = 2 − 1 = 1，于是大约就是 2/n。对一下：n = 40 时理论 5%、实验台数到 3.92%；n = 120 时理论 1.67%、数到 1.50%——同一量级，略低（渐近式本来就要 n 很大才准）。定理给的是极限，不是时间表。一个「注定要消失」的东西可以消失得非常慢，慢到在你关心的时间尺度上根本不算消失。这一条在实务里比定理本身更常用。
第三张图把这件事推到一般：把分布列做指数倾斜，让 m 从 0.3 扫到 2.5。灭绝概率在 m ≤ 1 时恒为 1，越过 1 之后立刻掉下来——是一个折角，不是一段缓坡。图上还打了模拟点（每个 m 跑 1500 条谱系、只跑有限代数）。值得留意的是：这些点几乎处处落在理论曲线上，唯独 m = 1 那一个点明显偏低。算一下就知道为什么——离开临界点 q_n 是几何收敛的，跑 40 代已经等于跑无穷代（本站验算：m = 1.3 处 40 代与极限只差 8×10⁻⁵ 个百分点，m = 1.7 处差 4×10⁻¹³ 个百分点）；而恰好在 m = 1 处，40 代只走到 95.45%，离极限的 100% 还差 4.55 个百分点。收敛快慢本身就是「是不是临界」的标志。
同一条阈值在别处反复出现，只是换了名字。
流行病的 R₀。一个感染者平均传染几个人，就是这里的 m。R₀ ≤ 1 时疫情会自行熄灭，R₀ > 1 才可能形成大流行——这和「E(X) ≤ 1 必然灭绝」是同一条定理，连证明都一样。戴口罩、隔离、疫苗，在数学上做的是同一件事：把 m 压到 1 以下。而随时间变化的那个版本叫 Rt，整场防控就是在盯着它。
核裂变的临界质量。一次裂变平均引发几次新的裂变，就是 m，反应堆里写作 keff。k < 1 次临界、k = 1 临界、k > 1 超临界。反应堆控制棒干的活，正是把 k 稳稳压在 1 上——也就是让反应堆长期停在这道高考题给的那个点上。
濒危物种的最小可存活种群。这解释了为什么保护生物学不能只看「出生率是不是大于死亡率」：即使平均恰好持平，小种群也会因为随机涨落而灭绝。这一项叫人口统计随机性，个体数越少它越致命——因为大数定律还来不及生效。
姓氏、转发、引用。Galton 和 Watson 1874 年提出这个模型，问的正是英国贵族姓氏为什么会消失。他们原以为答案是贵族生育率低，算出来却发现：即使平均每人恰好留下一个儿子，姓氏也会以概率 1 消失。今天任何「一个单位产生若干个同类单位」的过程都套这个模型：一条帖子的二级三级转发、一篇论文引出的后续引用、一个变异株分化出的子分支。
考题必须抹掉的三件事。
其一，没有环境容量。分支过程假设每个个体的繁殖互不影响，所以 m > 1 时种群指数爆炸到无穷。现实里资源有限，m 会随密度下降；补上这一条，模型就变成 logistic 型，长期行为完全不同——不再是「灭绝或爆炸」的二选一，而是停在一个容量上。
其二，m 不是常数。季节、气候、宿主行为、防控政策都会让它逐代变化。一个 m 在 1 上下来回穿的过程，跟一个 m 恒等于均值的过程，长期命运可以完全不同。
其三，分布列本身要估。题目把 p₀ 到 p₃ 直接给了，现实里这四个数要从有限样本估出来。而第三张图那个折角说明了一件要命的事：阈值附近，结论对参数最不稳定。m 从 0.95 挪到 1.05，只是一点点估计误差，结论却从「必然灭绝」翻成「可能永存」。疫情早期关于 R₀ 到底是 0.9 还是 1.3 的争论之所以要紧，正是因为争的不是一个数值，是分界线的哪一边。