从数据到结论
一张分组频数表，考场上是四个选项判真假。但真正该问的是：数据被分组之后，哪些结论还能下、哪些只剩一个范围、哪些从此再也说不准？这条界线，是所有做数据的人每天都要踩的。
本页题目
一百块稻田：分组之后，哪些话还能说
某农业研究部门在面积相等的 100 块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg），并部分整理下表：
| 亩产量 / kg | [900,950) | [950,1000) | [1000,1050) | [1050,1100) | [1100,1150) | [1150,1200) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 频数 | 6 | 12 | 18 | 24 | 10 |
则下列结论中正确的是（ ）
- 100 块稻田亩产量的中位数小于 1050 kg；
- 100 块稻田中亩产量低于 1100 kg 的稻田所占比例超过 80%；
- 100 块稻田亩产量的极差介于 200 kg 至 300 kg 之间；
- 100 块稻田亩产量的平均值介于 900 kg 至 1000 kg 之间。
第一步是把那张「部分整理」的表补全。给出的五档频数加起来是 6 + 12 + 18 + 24 + 10 = 70，一共 100 块，所以空着的 [1050,1100) 一档是 30 块。这一步不是技巧，是这道题的前提——不补全，四个选项一个都判不了。
补全后的累计频数是 6、18、36、66、90、100。逐条看：
A 假。第 50 与第 51 个数落在累计从 36 涨到 66 的那一档，也就是 [1050,1100)，所以中位数不小于 1050。
B 假。低于 1100 的是前四档，6+12+18+30 = 66 块，占 66%，没超过 80%。
C 真。最小值落在 [900,950) 内，最大值落在 [1150,1200) 内，于是极差大于 1150 − 950 = 200，小于 1200 − 900 = 300。
D 假。用组中值估计：(925×6 + 975×12 + 1025×18 + 1075×30 + 1125×24 + 1175×10) / 100 = 1067，远不在 900 到 1000 之间。
这道题真正的分水岭是 C 和 D 的区别，而绝大多数人只把它当成算数。C 只需要判一个不等式，而不等式的两端是由分档边界唯一确定的，所以 C 的结论是严格成立的，不依赖任何额外假设；D 里那个 1067 却是估计值——它假设每一档内部的数据平均落在档的中点上，而这条假设，表里没有任何东西能支持。（这道题里 D 错得足够远，估计的误差影响不到结论；但换一组数字就未必了。）
分组是一次不可逆的信息压缩。100 个数被换成了 6 个计数，每一块稻田从此只剩下「落在哪一档」这一条信息，档内的位置永远地丢了。于是同一张表能支撑的结论分成了泾渭分明的三档：
只能给区间 极差、最大值、最小值（选项 C 那类）
只能估计 均值、方差、任何用到档内具体位置的量（选项 D 那类）
要插值才有数 中位数、各分位数（选项 A 那类，好在 A 只问不等号）
右边第二张图把「丢了多少」量了出来。橙线是极差只能给出的那个区间有多宽——它恒等于 2 倍档宽，因为最小值在首档里的位置和最大值在末档里的位置都各有一个档宽的自由度。这条线是一条直线，斜率就是 2，和数据本身毫无关系：档宽 50 时你只能说极差在 200 到 300 之间，档宽 100 时就只能说在 100 到 300 之间了。
蓝虚线是组中值估计的均值偏了多少。它和橙线不一样——它取决于数据在档内怎么分布。把「档内分布形状」从均匀换成偏左或偏右再看：实测同一张表下，均匀时真均值 1067.8、偏左时 1059.6、偏右时 1075.9，而组中值估计始终报 1067.0。估计值一动不动，真值却在十几公斤的范围里滑动——这就是「档内分布」这条看不见的信息在起作用。
现实里没有人会把 100 个数分完组就把原始数据扔掉。那为什么这件事还值得认真讲？因为你拿到的数据，往往从一开始就是分好组的，而且你没有机会拿到原始值。
统计年鉴里的收入分布是按区间公布的；人口普查的年龄常常按五岁一组；问卷里的「您的月收入：5000 以下 / 5000–10000 / 10000 以上」本身就是一次分组；医院的化验单上写「＜0.5」而不是具体读数（这叫删失，是更狠的一种分组）。这些场合下，那张表就是全部证据，而这一页讲的三条界线决定了你能写出什么结论。
由此生出的一类真问题是：已知分组表，怎么把原始分布尽可能地还原回去？常见的思路是假定一个分布族（收入常用对数正态），然后用极大似然去拟合各档的频数；或者用样条在累积分布上做光滑插值。两种做法都必须先承认一件事：还原出来的东西是模型的产物，不是数据本身，换一个分布族就换一组答案。所以严肃的报告会同时给出「假设了什么」和「换个假设结论会不会翻」。
另一类真问题反过来：档该怎么分？档宽小则每档人数少、随机波动大，图看起来像锯齿；档宽大则信息丢得多，细节被抹平成一个平台。这是偏差—方差权衡在直方图上的化身，也是为什么 Sturges、Freedman–Diaconis 这些「定档宽」的经验公式会存在。而在公布数据时，档宽还多一层考虑：档分得太细会泄露个体身份。一个只有 3 个人的收入档，配上地区和年龄，往往就能把人认出来——这是统计披露控制要处理的问题，也是「分组」这件事在真实世界里最不数学的一个理由。