决策与分配
「谁去做哪件事」是运筹学最老的问题之一，也是高考概率题里最不起眼的一类外壳。这一页的题问的是两个队员谁先上场——而它的答案，和把最好的机器放在生产线哪个工位上，是同一个道理。
本页题目
两阶段投篮：把最好的人放在哪一环
某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮 3 次，若 3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为 0 分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮 3 次，每次投中得 5 分，未投中得 0 分。该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和。某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 p，乙每次投中的概率为 q，各次投中与否相互独立。
- 若 p = 0.4，q = 0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于 5 分的概率；
- 假设 0 ≤ p ≤ q ≤ 1。
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为 15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
先把规则翻译成两个独立的部分。第一阶段只是一道门：3 投至少中 1 次就过，过门的概率是 1 − (1−x)³，其中 x 是把门那个人的命中率。第二阶段才计分：另一个人投 3 次，每中一次 5 分，得分服从 5 × B(3, y)。
第(1)问：成绩不少于 5 分 ⟺ 过门，且第二阶段至少中 1 次。两件事独立，
第(2)问看着是两问，其实是同一个套路。记 f(x) = 1 − (1−x)³ 为过门概率，把甲把门与乙把门两种安排的式子写出来再相除：
(ii) 期望成绩：f(p)·15q 与 f(q)·15p 相比 ⟺ f(p)/p 与 f(q)/q 相比
把 f(x) = 3x − 3x² + x³ 代进去，两个判据都化得很干净：
g(x) = f(x)/x³ = 3/x² − 3/x + 1， g′(x) = (3x − 6)/x³ < 0
两个都单调递减。于是 p ≤ q 时必有 h(p) ≥ h(q) 且 g(p) ≥ g(q)，两问的答案是同一个：都应该由命中率较低的甲参加第一阶段。
最容易失分的地方在「把式子约干净」这一步。直接展开 f(p)q³ − f(q)p³ 去比大小，会得到一个四次的对称多项式，做起来很费劲也容易错；而两边同除以 p³q³ 之后立刻变成「同一个函数在两点的取值比大小」，剩下的只是求一次导。这道题考的不是求导，是「看出两边能约成同一个函数」。
去掉投篮的外衣，这是一道最经典的分配题：两种资源、两个位置，怎么配对。
关键在于两个位置的性质完全不同。第一阶段是一道门：它只问「过没过」，3 投中 1 就算过，命中率再高也只能把过门概率从 0.784 推到 0.999，收益封顶。第二阶段是计分位：每多中一次就多 5 分，命中率提高多少，期望就线性地涨多少。所以把最好的人放在第二阶段——那里他的每一分本事都能换成分数，而放在第一阶段，他大部分本事都浪费在一道本来就不难过的门上。
这件事在运筹学里叫边际收益：资源该配给边际收益最大的那个位置。同一个道理换几个场景就是：流水线上最快的机器不该放在瓶颈之前的工序上（前面快了后面也堵着），接力赛最强的选手一般排最后一棒（前面只要不掉队，最后一棒每一米都算数），预算该先砸在产出对投入最敏感的环节上。
右边第一张图把结论画成了一张决策边界图：横轴甲的命中率、纵轴乙的命中率，颜色表示该让谁把门。整张图被 p = q 这条对角线干净地切成两半，没有第二条界线——这正是「两个判据函数都单调」的图像。第二张图画的就是那两个判据函数本身：h(x) 和 g(x) 都从左上角单调滑到右下角，「单调递减」这四个字就是整道题第(2)问的全部证明。
这道题把两名队员的命中率当成了已知的常数 p 和 q。真实的分配问题里，这两个数恰恰是最不确定的东西。
教练手上有的不是 p 和 q，而是两个人过去几十次投篮的记录。从记录估出来的命中率带着不确定：投了 20 次中 8 次，点估计是 0.40，但 95% 置信区间大约是 0.19 到 0.64——宽到足以把甲和乙的顺序整个翻过来。于是真正的问题变成：在参数本身都估不准的时候，这个决策还稳不稳？这就是稳健优化要处理的事情，思路是别去优化「点估计下的期望」，而去优化「最坏情况下的期望」，或者干脆把决策错误的概率也算进目标里。
第二层被省掉的假设更要命：各次投篮相互独立、且命中率不随场次变化。这和本站第一道高考题（2023·Ⅰ·21）踩的是同一个坑——真实的运动员有状态起伏、有疲劳、有压力下的失常，而第一阶段「必须至少中一次」这件事本身就会带来压力。把一个在训练场上命中率 0.9 的人放到「不中就淘汰」的位置上，他还是 0.9 吗？这个问题没法靠算，只能靠设计实验去测。
一道完整的建模题会长成这样：一支队伍有 5 名队员，每人有 30 次历史投篮记录；比赛分三个阶段，每个阶段的规则（门槛 / 计分 / 淘汰）各不相同，且同一人不能连任两个阶段。怎么排人？这时候连「枚举所有排法再比期望」都未必够——你得先决定怎么从有限的历史记录估命中率、怎么把估计的不确定写进目标、以及当「期望最大」和「夺冠概率最大」给出不同答案时该听谁的。最后这一条尤其现实：落后时你要的从来不是期望最大，而是翻盘概率最大。