递推与马尔可夫链
概率题里出现「第 k 次」「打完 k 个球」这样的字眼时，十有八九是在考一条链。高考只要你解出通项；这一页告诉你这条链长什么样、为什么一定收敛、以及它在真实比赛里会怎么失效。
甲乙投篮：一条藏在数列题里的马尔可夫链
甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮。无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6，乙每次投篮的命中率均为 0.8。由抽签确定第 1 次投篮的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5。
- 求第 2 次投篮的人是乙的概率；
- 求第 i 次投篮的人是甲的概率；
- 已知：若随机变量 Xi 服从两点分布，且 P(Xi=1) = 1 − P(Xi=0) = qi，i = 1, 2, ⋯, n，则 E(∑Xi) = ∑qi。记前 n 次（即从第 1 次到第 n 次投篮）中甲投篮的次数为 Y，求 E(Y)。
设 pi 为「第 i 次由甲投」的概率，整道题就立住了。下一次还是甲投，只有两条路：这次是甲投且投中（0.6），或者这次是乙投且没中（1−0.8 = 0.2）。于是
第(1)问：p2 = 0.4×0.5 + 0.2 = 0.4，所以第 2 次是乙的概率为 0.6。
第(2)问：不动点 p* 满足 p* = 0.4p* + 0.2，解得 p* = 1/3。两边同时减去 1/3 得
第(3)问：题面把「两点分布之和的期望等于各自概率之和」当条件送给你了，意思很明确——令 Xi 表示第 i 次是不是甲投，则 Y = ∑Xi，于是
最容易栽的两个坑。一是把「第 i 次由甲投」和「第 i 次投中」混为一谈——前者是我们要递推的状态，后者只是转移时用到的概率，混起来递推式就写不对。二是第(3)问看到「期望」就去想独立性：X1, X2, ⋯ 之间并不独立，但期望的可加性不需要独立，题面给的那个条件就是在提醒这一点。这是一处很见功力的设问——它考的不是算，是知道哪条性质在什么前提下成立。
把那条递推式写成矩阵，这道题的真身就露出来了。状态只有两个（这一次谁在投），转移概率与历史无关——这正是马尔可夫链的定义：
第(2)问求的那个 1/3，在链的语言里叫稳态分布：不管第一次抽签抽到谁，投上若干次之后，「这一次是甲投」的概率都会稳定在 1/3。一般地，甲命中率 a、乙命中率 b 时稳态是 (1−b) / [(1−a)+(1−b)]——谁的命中率高，谁投的次数反而多，因为投中才能继续投。
而递推式里那个系数 0.4，在链的语言里叫第二特征值 λ₂ = a + b − 1。它决定收敛有多快：每投一次，离稳态的距离就乘以 0.4。实算一下——第 1 次差 0.167，第 3 次差 0.027，第 7 次就已经不到 0.001。「|λ₂| < 1 所以一定收敛」这句话，就是第(2)问那个漂亮通项背后唯一的理由。
右边第二张图把这件事画成了蛛网：一条斜率 0.4 的直线和对角线交于稳态点，从任何起点出发，横一步竖一步都会被吸进那个交点。斜率的绝对值小于 1 是全部秘密——把甲的命中率调到 1.0、乙调到 1.0（谁先投谁一直投到底），斜率变成 1，蛛网就不再收敛，稳态也不复存在。那正是一条可约链的样子。
这道题为了能在十分钟内解完，悄悄按下了三个假设：命中率是常数、与之前投得怎么样无关、而且「下一个谁投」完全由规则决定。前两条合起来就是一句在篮球场上争论了四十年的话——有没有「手感」这回事？
1985 年 Gilovich、Vallone 与 Tversky 在 Cognitive Psychology 上给出了否定的答案：他们统计了费城 76 人队的投篮记录，发现连中之后的命中率并不高于连丢之后，「手感」是人对随机序列的误读。这篇论文成了行为经济学的经典。
但 2018 年 Miller 与 Sanjurjo 在 Econometrica 上指出：1985 年那套统计量本身带着一个选择偏差。「在连中之后开始数」这个动作，在有限长的序列里会系统性地压低估计出来的命中率——一旦把这个偏差修正回去，同一批数据反而支持手感存在。目前学界并没有定论，比较稳妥的说法是：只有少数球员表现出手感，且幅度不大。
所以一道真正的建模问题会这样问：给你一份逐次投篮的原始记录，你怎么判断「手感」是不是真的存在？这道题的难点根本不在概率计算，而在前面三步——先给「手感」一个能被数据否定的操作性定义，再挑一个不带选择偏差的统计量，最后说清楚疲劳、防守强度、比分压力这些混杂因素要怎么控制。高考题把 0.6 和 0.8 直接写给你，而真实问题里，「这个数到底是不是常数」本身就是要回答的问题。
乒乓球净胜两分：考的是分布的尾巴，不是「先达到」
甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得 1 分、负者得 0 分。设每个球甲胜的概率为 p（1/2 < p < 1），乙胜的概率为 q，p + q = 1，且各球的胜负相互独立。对正整数 k ≥ 2，记 pk 为打完 k 个球后甲比乙至少多得 2 分的概率，qk 为打完 k 个球后乙比甲至少多得 2 分的概率。
- 求 p3, p4（用 p 表示）；
- 若 (p4 − p3) / (q4 − q3) = 4，求 p；
- 证明：对任意正整数 m，p2m+1 − q2m+1 < p2m − q2m < p2m+2 − q2m+2。
先把「至少多得 2 分」翻译成一个量。记打完 k 个球后的分差为 Dk，每个球给 D 加 1（概率 p）或减 1（概率 q）。于是 pk = P(Dk ≥ 2)。
k = 3 时 D₃ 只能取 3、1、−1、−3，≥2 就只剩 D₃ = 3 一种，所以 p₃ = p³。k = 4 时 D₄ 取 4、2、0、−2、−4，≥2 的是 D₄ = 4 和 D₄ = 2 两种，p₄ = p⁴ + 4p³q = p³(4 − 3p)。把 p、q 对调就得到 q₃、q₄。
第(2)问看着吓人，一约就没了：
比值 = 3p³q ⁄ 3q³p = p² ⁄ q² = 4 ⇒ p ⁄ q = 2 ⇒ p = 2/3
这道题最大的坑在第一行。「打完 k 个球后甲比乙至少多得 2 分」说的是打完那一刻的分差，不是「中途曾经领先过 2 分」。前者是分布的一条尾巴，后者是首达时问题，两者的答案差得很远。看到「至少多 2 分」就条件反射去想赌徒破产的同学，第(1)问就会算错。
第(3)问要分奇偶，理由在第二张图上一眼可见：Dk 只能取到与 k 同奇偶的值。k 是奇数时 Dk 不可能等于 2，能贡献的最小值是 3；k 是偶数时才轮到 2。所以 pk − qk 这条序列本身就是锯齿状的，必须拆成两条子列来比。
Dk 是一条最朴素的随机游走：从 0 出发，每步 ±1，向上的概率 p。这条游走在数学里几乎无处不在——赌徒的赌本、排队系统里的队长、群体遗传学里某个基因的拷贝数，写出来都是同一条式子。
写成 Dk = 2W − k（W 是 k 个球里甲赢的个数，服从二项分布 B(k, p)）之后，pk 和 qk 就是二项分布的两条尾巴，第二张图上染青和染橙的那两簇柱子就是它们本身。题目里三问的全部难度，说到底只是「怎么把尾巴写成 p 的多项式」。
这也让第(3)问那串不等式有了画面。柱子只落在与 k 同奇偶的格点上，k 每加 1，整排柱子就在奇偶两套格点之间跳一次；跳到奇数那套时，2 这个位置是空的，尾巴自然变薄，pk − qk 就掉下来一格。把 k 从 2 一路拖到 20，那条锯齿会非常清楚。
「必须净胜 2 分」不是命题人编出来的条件，它就是乒乓球的规则。一局打到 10 平之后，谁先净胜 2 分谁赢。所以这道题只要把问法改一个字，就从一道考试题变成一个真问题：平分之后，每球胜率 p 的人赢下这一局的概率是多少？
这一问有一个漂亮到可以口算的答案。平分之后每两球看作一组：甲连赢（p²）则甲胜，乙连赢（q²）则乙胜，各得一分（2pq）则回到平分、重新开始。于是
这条式子是一台放大器。第三张图画的就是它：每球胜率 55% 的人，赢下一个平分的概率是 59.9%；每球 60% 的人是 69.2%；到了每球 2/3（正好是第(2)问的答案），一个平分的胜率恰好是 80%。「净胜 2 分」这条规则的作用，就是把每一球上的微弱优势，兑换成整局上的明显优势——它是一条让强者更容易赢的规则。
再往前一步就是一道完整的建模题了：11 分制、每 2 球换发球、5 局 3 胜，一名每球胜率只高 2 个百分点的选手，赢下整场比赛的概率是多少？这道题没有闭式解，但它正是体育数据分析里最常见的一类问题——赛制设计本身就是一个可以被优化的对象：你希望这项运动多大程度上奖励实力、多大程度上留给偶然？