个体层面的传染病模型

把 β 设成 0.12、γ 设成 0.25，按播放。屏幕上是一圈向外推进的橙色波前，身后留下一片灰色的康复区——这个形状是微分方程画不出来的：SIR 方程假设所有人随机接触，不存在"波前"。注意曲线的形状：格点上的感染高峰只有 5.3%，持续 150 多步；而同样的 R₀ 在均匀混合模型里会给出又高又窄的尖峰。空间结构把疫情曲线压矮拉长了。原因很朴素：你的邻居也是你邻居的邻居，感染者周围很快就都是已经感染过的人，"有效接触数"远小于 8。把 β 降到 0.08、γ 保持 0.3 再试一次。均匀混合公式说 R₀=2.13，最终会有 83% 的人感染；而格点上疫情走了十几步就自己熄灭了，最终感染 0.13%。把 β 一格一格往上加，你会发现真正的爆发阈值出现在均匀混合 R₀ ≈ 2.2–2.6 的位置，而不是 R₀=1。这个差距有很实际的后果：用均匀混合模型估出来的干预力度，在有空间结构的现实里通常是过量的；而用它估出来的最终规模，通常是高估的。但方向不总是这样——如果人群中存在远距离连接（航班、通勤），空间结构的保护作用会迅速消失，这就是下一页网络传播要讲的事。

R₀ 是平均值，而平均值几乎不告诉你任何关于疫情形状的事。同样是 R₀=2.5，把离散参数 k 从 5（接近均匀）调到 0.1（极不均匀），平均值一点没变，一切都变了。k 很大时，每个人都传两三个，疫情稳稳地指数增长，很少自己熄灭。k=0.1 时，八成以上的人一个也没传给，而极少数人一次传几十个——结果是大部分疫情在开头几代就自己断了，偶尔一次撞上超级传播者就直接炸开。上面那条曲线量化了这件事：k 越小，曲线越贴着左上角，意味着越少的人造成了越多的病例。这就是流行病学里常说的"20/80 规则"。这个差别对防控策略的含义是决定性的。如果传播很均匀（k 大），你必须普遍性地把每个人的接触都降下来，因为每个人的贡献都差不多。如果传播极不均匀（k 小），针对性地切断少数高传播场景（密闭、拥挤、长时间聚集），效率会高出一个数量级——而"普遍降低接触"反而浪费在了那八成根本不传播的人身上。SARS、MERS 和新冠的 k 都被估计在 0.1–0.5 之间，流感则接近 1。同样的 R₀，不同的 k，需要的是完全不同的政策。

四个格子用同一个随机种子、同一组参数同时跑，唯一的区别是干预方式。三种干预都用同一个强度 q，这样比较才有意义：疫苗是随机给 q 比例的人免疫；减少接触是把 β 降低 q；接触追踪是每个被发现的病例，以概率 q 把周围的易感邻居隔离起来。把 q 设成 30% 按播放，然后读那四个数。在格点这种"接触高度局部"的结构上，接触追踪通常明显优于随机接种——虽然它隔离的人数可能更多，但每一次隔离都花在了真正处于传播前线的位置上。随机接种把大量疫苗打给了离疫情很远、本来也不会被感染的人。这是"针对性"的价值：在传播有明确空间或网络结构时，知道该保护谁，比保护更多人更有效。但要小心两个前提。第一，接触追踪需要能及时发现病例——这里假设康复即被发现，现实中有延迟，延迟一长效果就崩。第二，它隔离的人数是内生的、事先不知道的，而疫苗的成本是确定的。把 q 一路拖大再看：三条曲线都会压下去，但压下去的方式不同——减少接触是连续地削弱传播，而疫苗和追踪在超过某个强度后会让疫情直接熄灭，曲线出现一个陡降。那个陡降就是群体免疫阈值。

R₀>1 的意思是"平均每人传给不止一个"，很多人把它读成"疫情一定会爆发"。这是错的。R₀=2 时，从一个感染者开始，有 20% 的概率疫情会自己熄灭，而且这些熄灭的疫情中位数只感染了两三个人。R₀=1.5 时熄灭概率是 42%，R₀=1.2 时高达 69%。原因是早期人数太少，运气说了算：第一个人恰好谁也没传给（泊松分布下概率是 e^(−R₀)），整条链就断了。红点和蓝线贴得很紧，说明分支过程理论算得很准。注意那条绿线：它是 1/R₀。很多教科书会给出"熄灭概率 = 1/R₀"，但那是后代数服从几何分布时的答案。泊松分布下的熄灭概率明显更低（R₀=2 时 0.20 对 0.50）——同样的 R₀，后代分布不同，熄灭概率能差一倍以上。这和上一个实验台是同一句话的两种说法。最后把初始感染者从 1 调到 5。熄灭概率从 0.20 掉到 0.20⁵ ≈ 0.0003——几乎必然爆发。这解释了为什么边境检疫的价值极高：它不需要挡住所有输入病例，只要把同时输入的数量压下来，每一条链自己断掉的概率就会连乘。这也解释了为什么很多疫情在真正起飞之前，已经悄悄失败过很多次。