吸收、首达与破产
有些状态是终点：进去就出不来。破产、痊愈、毕业、设备报废都是这样的状态。一旦链里有了吸收态，问题就从"长期比例是多少"变成三个更具体的问题——会被哪个吸收态吞掉、概率多大、平均要走多久。这三个问题都不需要模拟，一个矩阵求逆就全算完了。
LAB 01
赌徒破产
本金与胜率一调，破产概率的那条曲线立刻变形
问题
拿着本金去赌，每把赢的概率固定，在输光之前翻倍的概率有多大？这个问题的形状远不止赌场：它是保险公司的破产概率、是创业公司烧完现金前拿到下一轮的概率、也是一个物种在灭绝前恢复的概率。
模型
状态是当前本金 i，两端 0 和 N 是吸收态。破产概率 qi 满足一个二阶差分方程，解出来是：
qi = ( ri − rN ) ⁄ ( 1 − rN )， r = (1−p)/p (p ≠ ½)
p 是每把赢的概率，N 是目标本金。p = ½ 时退化成 qi = 1 − i/N。公式算出的破产概率—
400 次模拟的破产比例—
公式算出的平均轮数—
模拟的平均轮数—
先把胜率放在 50%：完全公平的赌局。本金 5、目标 10，破产概率恰好是 0.5，平均要打 25 轮。一般公式是 i/N 与 i(N−i)——公平赌局里，你最终拿到目标的概率就等于本金占目标的比例，很直观，也是"鞅"这个概念最朴素的例子。现在把胜率往下拖一点点，只到 45%。直觉上"稍微吃亏"，结果破产概率从 0.500 跳到 0.732——5% 的劣势换来 23 个百分点的破产概率。把目标 N 调大，这个差距还会继续拉开：劣势不是按比例累积的，而是按 ((1−p)/p)^i 指数累积的。这就是赌场的全部生意：单局优势只要 1%-2%，只要玩的轮数够多，庄家几乎必赢。反过来看也一样有用——把"本金"换成企业现金流、把"每局"换成每个月，这条公式就是最简单的破产风险模型。注意平均轮数那一行：公平赌局最能拖，一旦有了偏向，游戏结束得更快。
LAB 02
吸收概率
基本矩阵 N=(I−Q)⁻¹ 是怎么把这件事一次算完的
问题
上一台只处理了"一条线上走"的情形。现实的状态图通常是一张网：用户在几个页面之间跳，最后要么下单要么离开。怎么一次算出"从任何一个状态出发，最后落到哪个出口"？
模型
把转移矩阵按"瞬时态 / 吸收态"分块，基本矩阵 N 一次给出全部答案。
P = [ Q R ; 0 I ]， N = (I − Q)−1， B = N R
Q 是瞬时态之间的转移，R 是瞬时态到吸收态的转移。Bij 就是从瞬时态 i 出发最终被吸收态 j 吸收的概率。从中间出发的总步数 = N 的行和—
从中间出发访问中间的期望次数—
从中间出发被 0 吸收的概率—
公式核对—
上面那张热力图是整件事的核心：基本矩阵 N=(I−Q)⁻¹。Q 是只留下"非吸收态之间"的那一块转移矩阵。N 的第 i 行第 j 列有一个很实在的含义——从 i 出发、直到被吸收为止，平均会踩到 j 多少次。对角线最亮，因为从哪儿出发就最常回到哪儿。有了 N，两件事立刻就有了：把 N 的每一行加起来，就是从该状态出发的期望存活步数（第一行读数）；把 N 乘上"一步跨进吸收态"的那块矩阵 R，就是被每个吸收态吞掉的概率（下面那张柱状图）。一次矩阵求逆，把"要走多久"和"最后去哪儿"一起解决了。把向右概率往右拖，看柱状图怎么整体变绿：轻微的偏向会让靠近中间的那些状态几乎全部倒向一边，柱状图从一条斜线变成一个陡台阶。这张图也解释了为什么随机的东西会显得"有方向"——只要单步有一点点偏，走得够远就是确定的结果。
LAB 03
期望吸收时间
平均要走多少步：模拟值与理论值并排给你
问题
"平均多少步能走完"是排队、可靠性、临床试验里天天要回答的问题。而且它和上一台用的是同一个矩阵——同一个 N 顺手就能给出期望时间。这一台把理论值和模拟值并排放，看它们对不对得上。
模型
基本矩阵 N 的第 i 行之和，就是从 i 出发被吸收前的期望步数。
t = N·1， 即 ti = Σj Nij
Nij 的含义是：从 i 出发，被吸收之前平均经过状态 j 多少次。把一行加起来自然就是总步数。从正中间出发的精确期望步数—
公式值—
200 次模拟的平均—
最慢的起点要走多少步—
公平游走（50%）时这条曲线是一条完美的抛物线：i(N−i)。N=12 时，从正中间出发平均要走 36 步才撞到两端之一，而从紧挨着边界的位置出发只要 11 步。差了三倍多。这条抛物线有一个让人意外的含义：期望步数按 N² 增长，而不是按 N。把 N 从 12 加到 24，中点的期望步数从 36 变成 144——状态空间只翻了一倍，等待时间翻了四倍。所有扩散型过程都有这个平方关系：分子扩散穿过一个两倍厚的膜要四倍时间，随机搜索在两倍大的空间里要四倍步数。现在把概率拖到 55%。抛物线立刻歪掉，并且整体压低——有了漂移之后，过程更快地被推向一端，"随机晃荡"的时间被大幅缩短。这也是为什么带方向的搜索（梯度下降、启发式）比纯随机搜索快得不是一星半点：它把 N² 的等待变成了 N 的行军。
LAB 04
常返与瞬时
一维随机游走必回原点，二维也必回，三维就不一定了
问题
喝醉的人随机走，还回得了家吗？这个玩笑式的问题有一个精确而惊人的答案，而且答案取决于维数。它决定了扩散能不能把粒子带回来、随机搜索会不会原地打转、以及为什么三维空间里"丢了就是丢了"。
模型
原点常返的判据是回访次数的期望是否发散，也就是 Σ pn(0→0) 收敛与否；而 pn(0→0) ~ n−d/2。
Σn n−d/2：d = 1, 2 发散 → 必回；d ≥ 3 收敛 → 未必回
这就是波利亚 1921 年的定理。三维里回到原点的概率约 0.3405。在步数上限内回过原点的比例—
理论值（步数→∞）—
首次回到原点的中位步数—
常返还是瞬时—
"喝醉的人总能回家，喝醉的鸟可能永远回不了家。"这句话说的就是这个实验。波利亚 1921 年证明：一维和二维的简单随机游走是常返的，回到原点的概率是 1；三维是瞬时的，只有 0.3405。在 4096 步的上限下，这三条曲线分别停在 0.988、0.727、0.358。注意二维那条：它明明是常返的，却在 4096 步时只回来了 73%。把 k 一路拖到 16（65536 步），它也只爬到 0.8 附近。原因是二维的收敛慢到了对数级别——"迟早会回来"和"很快会回来"完全是两回事。这正是数学结论和工程结论的分界线：一个概率为 1 的事件，可能需要长到没有意义的时间。三维那条则很快压平在 0.358 附近不动了，和理论的 0.3405 只差一点点（模拟只有 600 条，抖动就在这个量级）。实际含义：在平面上随机搜索，迟早能扫遍全场；在三维空间里随机搜索，有三分之二的概率再也找不回起点。
这一页想说的
吸收分析把三个问题压缩成一次矩阵求逆：基本矩阵 N=(I−Q)⁻¹ 的行和是期望存活时间，N·R 是各个吸收态的概率。这套工具直接用在可靠性（设备什么时候坏）、生存分析（病人多久痊愈）、信用风险（企业多久违约）和游戏平衡里。这一页也顺手给了两个反直觉的结论：微小的单步劣势会指数放大；扩散的时间按空间尺度的平方增长。