差分方程

线性递推的长期行为完全由特征根的模长决定，一个数就够了。特征方程是 λ² = aλ + b。两个根都在单位圆内（|λ| < 1）就衰减到 0；有根在圆外就发散；根是复数时会出现振荡，振荡的周期由根的辐角决定。右下那张复平面图把这件事画了出来：单位圆内 = 稳定。注意这和微分方程的判据不同：微分方程看特征根的实部是否小于 0，差分方程看特征根的模长是否小于 1。两者的"稳定区域"分别是左半平面和单位圆盘，这是离散与连续最基本的一处差别。试试 a = 1、b = −1：两个根的模长恰好是 1，解是一条等幅振荡（周期 6），既不衰减也不发散——这是差分方程里的"中心"，同样是结构不稳定的临界情形。另外把 b 调成负得很厉害，会看到振荡发散：负反馈太强不是稳定，而是振荡失控，这在控制系统里是常见故障模式。

蛛网图是一维递推的"相图"，它一次把所有信息都摆出来。不动点是 y = f(x) 与 y = x 的交点；收敛与否看交点处曲线的斜率：|f′(x*)| < 1 收敛，> 1 发散；斜率为正时单调逼近，为负时来回跳着逼近。这四个候选里 Beverton–Holt 的斜率永远在 0 到 1 之间，所以它永远单调收敛，绝不会混沌；Ricker 和逻辑斯蒂在 r 大的时候斜率会跌破 −1，于是先振荡、再倍周期、再混沌。这说明"离散模型会混沌"并不是离散本身造成的，而是取决于映射在不动点处有多陡。建模时这条判据非常实用：拿到一个递推式，先算 f′(x*)，就知道它会不会闹。

连续的逻辑斯蒂方程 x′ = rx(1 − x) 永远单调收敛到 1，不管 r 多大。这一点可以直接从相线看出来：0 到 1 之间 f > 0，所以 x 只能一路往右爬，没有别的可能。但它的欧拉离散化 xₙ₊₁ = xₙ + Δt·r·xₙ(1 − xₙ) 完全不是这样。决定一切的是乘积 r·Δt：小于 2 时单调收敛，2 到 2.449 之间振荡收敛，超过 2.449 出现周期 2，再往上倍周期直至混沌（把 r·Δt 换元就会发现它其实等价于参数 1 + r·Δt 的逻辑斯蒂映射）。这意味着两件事，都很重要：第一，离散化不是无害的近似——步长取大了，你解出来的动力学可能是求解器造出来的，而不是方程的。第二，如果你的系统本来就是按代繁殖的（昆虫、一年生植物），那么离散模型才是对的，那个混沌是真的。"用哪一种"取决于现实里事情是不是一步一步发生的，而不是哪个更好算。

莱斯利矩阵把"按年龄分组的种群"写成一次矩阵乘法：n(t+1) = L·n(t)。于是长期行为就是矩阵幂的问题，答案由主特征值 λ₁ 给出：λ₁ > 1 增长，λ₁ < 1 衰退，λ₁ = 1 持平。更有意思的是右下那张图：不管初始年龄结构怎么设，各组的占比都会收敛到同一个分布——主特征向量。这叫稳定年龄结构，是种群生态学和人口学里最基本的结论之一，也是"人口惯性"的数学来源：即使生育率立刻降到更替水平，人口还会继续增长几十年，因为年龄结构本身要花很久才调整过来。再试一件事：把两个生育率都调小，让 λ₁ 略小于 1。种群在衰退，但前几代未必看得出来——这正是"趋势判断不能只看头几年"的一个干净例子。