一阶方程与方向场

先选 y′ = y(1 − y/3)，把起点 y₀ 在 0 上下来回拖。y₀ > 0 时解都爬向 3，y₀ < 0 时解一路掉下去，而 y = 0 和 y = 3 这两条水平线本身就是解——它们是平衡解。这些结论完全是从箭头的方向读出来的，一个积分都没算。再换 y′ = 1 + y²。这个方程的解是 tan(x + c)，它会在有限的 x 处直接冲到无穷——注意箭头在上方越来越陡。这提醒一件事：微分方程的解不一定对所有 x 都存在。存在唯一性定理只保证"局部"有解，很多数值求解器不报错地算出一堆垃圾，正是因为它跑过了解的存在区间。最后看 y′ = sin(x) − 0.3y：这不是自治方程（右边含 x），所以箭头随 x 变化，解最终被拖成一条振荡曲线。自治与非自治的区别，在方向场上是"箭头随不随 x 变"。

一维自治系统的全部长期行为，就藏在 f(y) 这条曲线的零点里。f(y) > 0 的地方 y 往右走，f(y) < 0 的地方往左走，所以从上往下穿过零点的平衡点是稳定的（两边都指向它），从下往上穿的是不稳定的。判据就是 f′(y*)：小于零稳定，大于零不稳定。选"Allee 效应"看一个有现实意义的例子。它有三个平衡点：0（稳定）、a（不稳定）、1（稳定）。a 是一个阈值——种群数量低于 a 就会灭绝，高于 a 才能恢复。这跟逻辑斯蒂模型给出的结论完全不同：逻辑斯蒂说"再少也能恢复"，Allee 说"少到一定程度就回不来了"。在保护生物学里这个差别直接决定政策——这也是"模型选错了比参数估错了严重得多"的一个典型例子。最后选"半稳定"：y = 0 这个点一边吸引一边排斥，f′(0) = 0，一阶判据在这里失效，必须看更高阶的项。

把拟合窗口调到 8 以内，两个模型在数据上几乎完全重合。看拟合区间里的曲线，你没有任何办法凭数据区分它们——R² 都很高，残差都没有结构。但把预测拖到 t = 30：指数模型给出 49708，逻辑斯蒂给出 181，真值是 199.5——指数模型高估了 250 倍。这就是外推的危险：模型在数据覆盖的区间里彼此难辨，在数据之外却给出完全不同的世界。把拟合窗口慢慢拉大，指数模型的误差才开始暴露出来——因为这时数据里终于出现了"增长变慢"的信息。现实中这件事一再发生：疫情早期的指数外推、新产品前几个月的用户增长曲线、任何"按现在的速度，五年后将达到……"的推算。能救你的通常不是更好的拟合，而是机制上的先验：你知不知道这个系统有没有上限、上限大概在哪。

牛顿冷却律 T′ = −k(T − Tₐ) 的解是一条指数衰减到环境温度的曲线。对它做参数估计有个很实用的技巧：如果环境温度已知，取 ln(T − Tₐ) 就把问题变成了线性回归；这里两个参数都未知，所以用的是直接的非线性最小二乘。把测量区间从 25 缩到 8 再看：k 还能估个大概，但环境温度 Tₐ 的估计会开始乱跳。原因很直观——只测了前面陡的那一段，曲线还没开始贴近渐近线，数据里根本没有"最终会停在哪"的信息。参数可不可辨识，取决于你的数据覆盖了动力学的哪一段，而不取决于你用了多好的优化器。这也是为什么预测区间在末端会张开：模型对远处的事，本来就知道得更少。把噪声从 0.2 调到 0.6 再到 1.5，区间宽度是 1.10 → 3.22 → 7.44，大致与噪声成正比；但注意它比噪声本身大了五倍左右。预测区间里装的是两样东西：观测噪声，和被外推放大的参数不确定性。只报一个点估计而不报区间，等于把后面这一样悄悄扔掉了。