分形拿来做什么

右边那张图不是存下来的，是算出来的。压缩时存的根本不是像素，而是一组"把大块缩小、调亮度、贴到小块上"的指令；解码时从一张纯灰的图开始，反复执行这组指令，图像自己会浮现出来。看下面那条收敛曲线：第 1 次迭代 RMSE 是 34.5，第 2 次 22.4，第 4 次 7.84，第 8 次 6.59，之后就不动了。起点是什么完全不重要——换成全黑、全白、随机噪声，收敛到的是同一张图。这就是巴恩斯利的拼贴定理：这组指令是一个压缩映射，图像是它唯一的不动点。一张图不再是"一堆数值"，而是"一个方程的解"。默认参数下压缩比 6.40 : 1，RMSE 6.58，4096 字节变成 640 字节。把值域块拖到 8×8：压缩比跳到 25.60 : 1，RMSE 升到 11.51。块越大，要存的指令越少，但一块之内能表达的细节也越少。拖到 2×2：压缩比只剩 1.60 : 1，RMSE 降到 2.71——几乎没压缩，因为每个 2×2 块也要花 20 比特去指路。这条取舍曲线是所有分块压缩方法共有的。把对比度上限拖到 0.30 再看：RMSE 从 6.58 涨到 9.32。这个上限不是随便设的：只有 |s| < 1 才能保证那个映射是压缩的、解码一定收敛。限制越紧，收敛越快，但能表达的对比变化越少。最后说这项技术的结局，因为它本身很有教育意义。分形压缩在 1990 年代初被寄予厚望，它有两个真实优点：解码极快，而且"分辨率无关"——解码时用更大的画布，就能得到一张放大后依然有合理细节的图，因为指令描述的是尺度之间的关系，不是某个分辨率上的像素。但它有一个致命缺点：编码要在所有域块里搜索最佳匹配，慢得离谱。这一页的 64×64 小图搜索 225 个候选块就要几十毫秒，真实图片是这个量级的上千倍。而 JPEG 在同样压缩比下画质更好、编码快上百倍。专利纠纷又拖了它几年。技术的胜负很少由"思想是否漂亮"决定。

天线的谐振频率由"电长度"决定，大致是导线长到半个波长时谐振。所以想让天线工作在更低的频率，要么把它做长，要么——把同样长的线塞进更小的地方。科赫曲线正好干这个：占地宽度始终是 1（蓝虚线），而导线越折越长。默认 θ = 60°、迭代 4 级时，导线总长 3.1605，正好等于 (4/3)⁴ = 3.1605。谐振频率降到直线天线的 0.3164 倍，几何上的小型化幅度 68.36%。把折角拖到 85°、迭代 4 级：总长 11.4539，小型化 91.27%。折角越大，每一折绕的路越多，同时分形维数从 1.0526（θ=30°）一路升到 1.7848（θ=85°）——维数越高，曲线越"占满"平面。第二行读数的第二个数是对这张图做盒计数量出来的，值得单独看一眼。θ = 60°、迭代 5 级时实测 1.2595，理论 1.2619，几乎一致；但迭代只到 3 级时实测只有 1.0919。θ = 85° 更夸张：迭代 5 级实测 1.5307，理论 1.7848。迭代级数不够、画布分辨率不够，量出来的维数就偏小。这条经验对所有"测量真实物体分形维数"的工作都成立。现在必须说清楚这个实验台不能说明什么。上面算的是几何长度，而真实天线的谐振由电流分布决定。科赫天线上的电流在那些急折处会互相抵消，所以实际的频率下降幅度远小于 (3/4)ⁿ——Best 在 2003 年的实验里指出，迭代到第 3、4 级之后几乎不再有额外收益，而且每一级都会让辐射效率和带宽变差。更根本的限制来自 Chu–Harrington 定律：任何天线只要小到一定程度，它的品质因数 Q 就必然随尺寸的立方反比上升，带宽随之塌陷。折多少次都绕不过这条。那分形天线的真实价值在哪？在多频段。一个自相似的结构在多个尺度上都有"半波长"可言，于是它天然在一串频率上都能谐振——手机要同时吃下 GSM、Wi-Fi、蓝牙、GPS、5G 好几个频段，一个分形形状抵好几根天线，这才是它真正被用起来的原因。"小型化"是个漂亮的说法，"多频段"才是买单的理由。

门格尔海绵：把立方体切成 27 块，挖掉中间那一块和六个面心，留下 20 块，再对每一块重复。上面画的是它的一个面（正好是谢尔宾斯基地毯）。每挖一级，体积乘以 20/27 = 0.7407，而表面积不降反升。默认挖 3 级：固体体积只剩 0.4064，表面积从 6 涨到 24.757，比表面积 60.912。挖到 4 级：体积 0.3011，表面积 51.270，比表面积 170.294。这个方向如果一直走下去，体积趋于 0，表面积趋于无穷。门格尔海绵的维数是 log20/log3 = 2.7268——介于面（2）和体（3）之间，所以它"比面多，比体少"：体积测度为零，面积测度为无穷。第四行读数是这一页最实用的一个对照。如果不用分形结构，而是在立方体里挖一个等体积的大孔，表面积只有 10.2（挖 3 级时）。分形结构的表面积是它的 2.42 倍；挖到 4 级是 4.78 倍。而且这个倍数会随级数继续放大——同样的孔隙率，分形分布的孔能提供几个数量级以上的表面积。这正是很多东西的工作原理：人的肺在约 5 升的胸腔里塞进了 70～100 平方米的气体交换面积（一个网球场大小），靠的是 23 级分叉的支气管树；活性炭每克的表面积是 1000～2000 平方米，靠的是多级孔隙；催化剂载体、锂电池的多孔电极、甚至壁虎脚掌的刚毛分叉（增加范德华接触面积），都是同一个原理。反过来，这也解释了为什么多孔介质的输运问题这么难算：流体在一个维数 2.73 的界面上流动，普通的达西定律（假设均匀介质）就不够用了，要用分数阶扩散或者随机行走在分形上的模型。（还有一个反直觉的推论：多孔材料里"表面积很大"和"孔很通畅"是矛盾的。级数越高，孔越细，表面积越大，但流体进得去出不来——真实材料要在"比表面积"和"渗透率"之间取一个折中，这就是分级多孔材料要同时设计大孔和微孔的原因。）

这是分形最朴素也最有效的一种用法：把维数当成一个特征。两类纹理只差一点粗糙度——A 类 H = 0.30，B 类 H = 0.70。肉眼看上去一类"毛"一点、一类"块"一点，但要写出一条规则去区分它们并不容易。而盒维数直接给出一个数：A 类 1.6767 ± 0.0600，B 类 1.3980 ± 0.0565，一条阈值线就能 100% 分开，AUC = 1.000。把两类拉近：H = 0.40 与 0.60，准确率 90.0%，AUC 0.941；H = 0.45 与 0.55，准确率 78.0%，AUC 0.818。性能随差异平滑下降，没有悬崖——这说明维数不是一个"开关"，而是一个真正的连续量。这类方法在医学影像里是成熟技术：乳腺钼靶影像的纹理维数与病变相关，视网膜血管树的分形维数用于糖尿病视网膜病变分级，骨小梁的维数用于骨质疏松评估。它的好处是只需要一个数、可解释、对整体亮度和对比度不敏感。接下来是这一页最重要的一步，请一定做一次。把两个 H 都设成 0.50——两类完全一样，本来就不该分得开。读数是：准确率 72.0%，AUC 0.638。准确率远高于 50%，但真相是这两类毫无差别。问题出在"最佳阈值"这四个字上：阈值是在同一批数据上挑出来的，挑的就是让这批数据分得最开的那个位置，所以它必然高估，而且样本越少高估越厉害。把每类样本数拖到 10 再试，这个虚高的"准确率"还会更漂亮。正确的做法只有一条：阈值在一批数据上定，准确率在另一批数据上报。（AUC 0.638 也不是 0.5，同样是有限样本的涨落：每类 25 个样本时 AUC 的标准误大约 0.08，所以 0.638 只是一个 1.7 倍标准误的偏离，在没有置信区间的情况下它什么也不说明。报 AUC 不报置信区间，和报 α 不报 x_min 是同一类毛病。）