分形
把一条边换成四条、再把每条边换成四条，重复下去就有了无限长的海岸线。分形是「简单规则 + 无限重复」最直观的一课。
这个模块讲什么
分形不是数学家的装饰品。海岸线、血管、闪电、股价、山脉轮廓，都在某个尺度范围内具有自相似性；而分形维数给了我们一把尺子，去量那些「介于线与面之间」的东西。这个模块从最简单的迭代规则开始，一路走到复平面上的曼德博集合与自然界的随机分形。
7专题
26实验台
专题列表
每个专题是一个独立页面，页内按实验台组织。下面列出的是每一页会做的实验。
2.1
迭代与自相似
已上线科赫雪花、谢尔宾斯基三角、L-系统。规则写成一行字符串替换，图形自己长出来。
01科赫曲线逐级迭代，同时显示周长怎么按 (4/3)ⁿ 发散而面积收敛
02谢尔宾斯基三角形挖洞版与混沌游戏版并排，说明「随机也能画出确定的图」
03L-系统自己编辑替换规则和转角，长出蕨叶、树、龙形曲线
04迭代函数系统调四组仿射变换的系数，看吸引子如何随参数连续变形
2.2
复平面上的分形
已上线z ← z² + c。一行迭代式，一张能无限放大的地图。曼德博集合、朱利亚集与牛顿分形都出自这里。
01曼德博集合点击放大，逐级深入边界，看同样的形状在不同尺度反复出现
02朱利亚集在曼德博平面上拖动 c，右边的朱利亚集实时跟着变形、连通性在边界上翻转
03牛顿分形解 z³−1=0：每个像素按收敛到哪个根上色，三片流域的边界处处是分形
04逃逸时间与着色换迭代上限、换着色函数，看「同一个集合」能呈现出多少种样子
2.3
随机分形与自然形态
已上线真实世界的分形总带着噪声。布朗运动、扩散受限聚集、中点位移地形，是自然形态最短的三条公式。
01分数布朗运动调 Hurst 指数，同一条曲线从「平滑趋势」变成「剧烈抖动」
02扩散受限聚集粒子随机游走直到粘住，长出雪花、铜枝晶一样的分叉结构
03中点位移地形两个参数生成一整片山脉剖面，粗糙度直接对应分形维数
2.4
分形维数
已上线介于 1 与 2 之间的维数不是玄学，是能量出来的。盒计数法给出一把可操作的尺子。
01盒维数测量对任意图形自动缩放网格、计数、拟合斜率，得到维数
02海岸线悖论换测量尺长度，看「海岸线总长」怎么随尺子变短而无限增长
03自然图形实测把叶脉、闪电、河网这类图形丢进盒计数器，比较它们的维数
2.5
粗糙度与多重分形
已上线一条曲线有多"毛"？Hurst 指数给出一个数。而真实数据往往不止一个维数——平静时段和暴涨时段的粗糙度并不一样。
01Hurst 指数拖动 H，看同一份随机数长成平滑山脊还是锯齿噪声
02R/S 分析从一条序列反推 H：重标极差法一步步算给你看
03多重分形谱同一条序列在不同矩阶下给出不同维数，画出 f(α) 那条拱形曲线
04长记忆与伪趋势H>0.5 的随机序列看上去满是趋势，其实一个趋势都没有
2.6
铺砌、替换与准晶
已上线用有限几种瓷砖铺满平面，却永远不重复——彭罗斯铺砌做到了。它的秘密和斐波那契数列、黄金比例是同一件事。
01替换系统一条线段换成两条、再换，Fibonacci 字串与康托集出自同一个机制
02彭罗斯铺砌胖瘦两种菱形逐级细分，铺出五重对称却不周期的图案
03自相似铺砌一块形状切成几块与自己相似的小块，缩放比就是它的维数
04准晶的衍射非周期结构却有清晰的衍射斑点——1982 年那个让人不敢发表的实验
2.7
分形拿来做什么
已上线分形不只是好看。图像压缩、天线小型化、多孔介质、医学影像诊断，用的都是同一句话：结构在尺度之间重复。
01分形图像压缩用自相似块去拼一张图，压缩比与失真的取舍
02分形天线同样的占地面积，迭代级数越高，能工作的频段越多
03多孔介质与表面积分形结构怎么在有限体积里塞进近乎无限的表面积
04把维数当特征用两类纹理只差一点粗糙度，盒维数就能把它们分开