分形维数
一条线是一维，一个面是二维，那海岸线是几维？"介于一和二之间"听起来像文字游戏，但它是个能量出来的数：把图形盖在边长 ε 的方格网上，数有多少格被占；ε 减半，占的格数大约乘以 2^D——这个 D 就是维数。
LAB 01
盒维数测量
对任意图形自动缩放网格、计数、拟合斜率，得到维数
问题
"这个东西有多复杂"——怎么把它变成一个可以测量的数？盒计数给出了最实用的一个答案：拿不同大小的方格去盖它，数用了多少个格子，看这个数怎么随格子变小而增长。
模型
盒维数定义为覆盖所需盒子数随盒子尺度的对数斜率。
D = limε→0 log N(ε) ⁄ log(1/ε) → 实测时用 log N 对 log(1/ε) 回归的斜率
N(ε) 是边长 ε 的盒子中含有图形的个数。实测时必须报告可用的尺度范围：ε 太大盖不出细节，ε 小到像素级就失真——两端都要截掉。被占格数 N(ε)—
拟合维数 D—
理论值—
拟合 R²—
下面那张双对数图才是重点。横轴是 log(1/ε)，纵轴是 log N(ε)，如果这些点落在一条直线上，斜率就是维数——落不上直线，说明这个图形在这段尺度范围内并没有稳定的自相似性，硬报一个维数就是编的。直线段给出 1.00，圆盘给出 2.00，科赫曲线给出约 1.26，正好是 log4/log3。
LAB 02
海岸线悖论
换测量尺长度，看「海岸线总长」怎么随尺子变短而无限增长
问题
英国的海岸线有多长？这个问题没有答案——不是因为测不准，而是因为答案取决于你的尺子有多长。理查森 1961 年发现这一点时，曼德博还没造出"分形"这个词。
模型
理查森效应：测得的总长随尺子长度按幂律发散。
L(ε) = C · ε1−D， D > 1 时 ε → 0 ⟹ L → ∞
ε 是尺子长度，D 是分形维数。英国西海岸 D ≈ 1.25，南非海岸 D ≈ 1.02（几乎是条线）。正是这条幂律让曼德博意识到：海岸线的"长度"没意义，有意义的是维数。测得总长—
用了几步—
由斜率得到的维数—
理查森 1961 年发现的事：英国海岸线的长度取决于你用多长的尺子量。尺子越短，量出来越长，而且 log(长度) 与 log(尺长) 是一条直线，斜率为 1−D。这句话的实际后果是——"某国海岸线长 X 公里"这种数据，不写明测量尺度就没有意义，不同国家的统计年鉴因此常常互相对不上。
LAB 03
自然图形实测
把叶脉、闪电、河网这类图形丢进盒计数器，比较它们的维数
问题
课本上的分形是用公式造的，而真实世界的叶脉、闪电、河网并没有公式。它们能被"测出"一个维数吗？测出来的数有多可靠？这一台把三类真实形状丢进同一个盒计数器。
模型
实测时的两条纪律：只在直线段上拟合，并报告尺度范围。
log N(ε) = −D log ε + c 只在中段线性区拟合； 报告 (εmin, εmax) 与 R²
真实图形不是严格自相似的，只在有限的尺度区间内像分形。参考值：叶脉 D ≈ 1.7～1.9，闪电 D ≈ 1.3～1.7，河网 D ≈ 1.1～1.3，人肺气道投影 D ≈ 1.5。实测维数—
文献常见范围—
拟合 R²—
实测值和文献范围放在一起看。这些图形是按各自的生长机制算出来的（放电走最易击穿路径、河网按汇流分叉、叶脉按输运效率、路网按地块细分），不是照片描的。拖一下「生长密度」你会看到实测维数跟着走出或走进文献区间——这恰恰说明维数不是图形的装饰属性，而是生长机制参数的函数。真正要记住的是方法：任何二值图像都能丢进盒计数器，而那条双对数直线在多宽的尺度范围内成立，比斜率本身更值得报告。
这一页想说的
分形维数不是一个玄学概念，是一个带着测量程序的定义：给定尺度范围，盖格子、数格子、拟合斜率。注意最后那个限定——"给定尺度范围"。真实物体不可能在所有尺度上自相似：海岸线小到沙粒就没有意义了，血管细到毛细血管就到头了。报告一个分形维数而不说明它在哪段尺度上成立，和报告一个平均值不说样本量一样不负责任。