随机分形与自然形态
真实世界里没有科赫雪花那么规整的东西。海岸线、山脊、血管、股价，都是"统计意义上的自相似"：放大一段，细节的**分布**和整体一样，但具体形状每次都不同。给迭代规则掺进随机，就从数学的分形走到了自然的分形。
LAB 01
分数布朗运动
调 Hurst 指数，同一条曲线从「平滑趋势」变成「剧烈抖动」
问题
股价、地形剖面、心率变异——这些曲线"毛"的程度各不相同，能不能用一个数把它量出来？能，而且这个数同时是相关性、是标度指数、也是分形维数。
模型
分数布朗运动：增量平稳、自相似，由 Hurst 指数 H 单参数刻画。
E[ (BH(t+τ) − BH(t))² ] = τ2H， 增量自相关 ρ(1) = 22H−1 − 1， D = 2 − H
H = ½ 是普通布朗运动（增量独立）；H > ½ 持续（涨完接着涨）；H < ½ 反持续。三件事由同一个 H 决定，这是这一台要证给你看的。轨迹的分形维数 2−H—
极差—
相邻增量相关性—
H 就是"记性"。H=0.5 时增量互相独立，是标准布朗运动，也就是随机游走；H>0.5 时增量正相关——涨过之后更可能继续涨，曲线看起来有"趋势"；H<0.5 时增量负相关，曲线来回抽搐。金融时间序列常被拿来估 H，但要小心：有限样本上 H 的估计极不稳定，很容易把噪声读成趋势。
LAB 02
扩散受限聚集
粒子随机游走直到粘住，长出雪花、铜枝晶一样的分叉结构
问题
雪花、铜的枝晶、闪电、细菌菌落、城市的扩张——这些分叉结构长得如此相似，是不是同一个机制？1981 年 Witten 和 Sander 给出了一个只有两条规则的模型，维数算出来和实验对得上。
模型
扩散受限聚集（DLA）：粒子随机游走，碰到已有集团就永久粘住。
随机游走 + 一碰即粘； 二维 DLA 的分形维数 D ≈ 1.71
关键在于屏蔽效应：突出的尖端更容易先被游走粒子碰到，于是越长越尖——分叉就是这么来的。这个 1.71 在电沉积、粘性指进、介质击穿的实验里都被测到过。已粘附粒子—
团簇半径—
实测盒维数—
为什么是分叉而不是一个圆球？因为先伸出来的枝条挡住了后来的粒子——粒子还没走到里面就先碰到枝尖粘住了。这叫屏蔽效应，是个正反馈：突出的地方更容易接到新粒子，于是更突出。把粘附概率调到 2%，粒子要碰很多次才粘，有机会钻进内部，团簇立刻变得致密——同一套随机游走，长出完全不同的形态。
LAB 03
中点位移地形
两个参数生成一整片山脉剖面，粗糙度直接对应分形维数
问题
游戏里的山脉、电影里的地形，不是美术一座一座画的，而是两个参数生成的。这一台把生成过程摊开：粗糙度参数直接对应地形的分形维数，而分形维数直接决定它"像不像真的山"。
模型
中点位移法：每次取中点，加一个方差随尺度衰减的随机量。
hmid = ½(ha + hb) + σ·r， σn = σ₀ · 2−nH； 剖面维数 D = 2 − H，曲面维数 D = 3 − H
H 就是上一台的 Hurst 指数。H 大 → 平滑的丘陵；H 小 → 锯齿状的险峰。真实地形通常 H ≈ 0.7~0.9。（注意：这个算法快，但生成的不是严格的分数布朗曲面，会留下轻微的网格痕迹。）剖面维数—
最高点—
水面以上占比—
两个参数生成一整片山脉。中点位移法：取一段的两端，在中点放一个高度等于两端平均值加一个随机扰动的点，扰动幅度每细分一层按 2^(−H) 缩小；对新产生的每一段再做一次。游戏里的地形、影视里的星球表面，很多就是这么来的——不是扫描出来的，是两个参数长出来的。
这一页想说的
确定的分形靠一条精确的替换规则，随机的分形靠一条"概率上的"替换规则。后者才是自然界的常态：没有哪条海岸线是照着公式长的，但它们的粗糙程度在很宽的尺度范围内是稳定的，这个稳定的量就是分形维数。下一页讲怎么把它量出来。