博弈与均衡

这张图把"均衡"这个抽象概念画成了两条折线的交点。橙线是行玩家的最佳反应：给定对手用策略一的概率 q，我该以多大概率用策略一。蓝线是列玩家的最佳反应。交点就是纳什均衡——因为在交点上，两个人都在对对方的选择做最优反应。几个博弈值得逐个看。囚徒困境：两条线只交于一个角，(背叛,背叛) 是唯一均衡，而社会最优是 (合作,合作)。这是博弈论最著名的一句话：均衡可以是所有人都更差的那个点。猎鹿：有两个纯策略均衡，一个好一个差，停在哪个取决于双方的信念——这叫协调问题，现实中的技术标准之争、排队方向、开车靠哪边都是它。匹配硬币：两条线只在中间交叉一次，没有纯策略均衡，唯一的均衡是各 50% 随机——这就是为什么点球、发球方向、审计抽查必须随机：任何可预测的规律都会被对手利用。最后拖一下那个"诱惑"滑杆：你会看到猎鹿的两个均衡里有一个逐渐消失，博弈的类型在某个临界点上突然从协调问题变成了囚徒困境。

零和博弈是博弈论里唯一一块"完全解决了"的地方。冯·诺依曼 1928 年证明的最小最大定理说：在混合策略下，"我先出手、对手看着办"和"对手先出手、我看着办"的结果完全一样。这个共同的值就叫博弈值。更漂亮的是，求它恰好是一个线性规划——而且行玩家的 LP 和列玩家的 LP 互为对偶，最小最大定理和 LP 强对偶定理是同一个定理的两种说法。这一页用虚拟对局来演示收敛：每一轮双方都对"对手历史上的出牌频率"做最佳反应。规则里没有任何"求解"的成分，可估计值就是会一点点收敛到那条蓝虚线上。石头剪刀布的值是 0，最优策略是各 1/3；加权版的值仍然是 0，但最优策略变成了 (0.25, 0.5, 0.25)——注意：奖励更高的那一手，反而应该出得更少。道理是对手会重点防它，均衡要求各手带来的收益相等。（这一条在竞技体育和安检资源分配里反复出现：最优的混合不是"多用强的"，而是"让对手无法针对"。）最后注意收敛速度：虚拟对局的误差大致按 1/√t 下降，几千轮之后小数点后两位才稳定——它好懂但不高效，实用时还是直接解那个 LP。

演化博弈把"理性"换成了"繁殖"。这里没有人在计算最优反应，只有一条复制动力学：收益高于平均的策略，比例就上升。规则朴素到近乎生物学，结论却和纳什均衡高度一致——稳定的不动点几乎总是纳什均衡，但反过来不成立：有些纳什均衡是不稳定的，演化到不了那里。逐个看。囚徒困境：dx/dt 在整个区间上都是负的，合作者的比例只会一路掉到 0——在没有空间结构、没有重复的纯混合人群里，合作必然灭绝。鹰鸽：两端都不稳定，中间有一个稳定的内部不动点。这意味着长期结果不是"谁赢"，而是两种策略按固定比例共存。这解释了自然界里为什么打斗型和退让型行为会长期并存，也解释了很多"人群里总有一定比例的搭便车者"的现象。猎鹿：两端都稳定，中间那个不动点不稳定——这是一个分水岭：初始比例在它左边就全部滑向坏均衡，在右边就全部走向好均衡。这个分水岭的位置，就是"要多少人先相信，一件事才能成"的临界质量。下面那张图画了七条不同初值的轨迹，你能一眼看出它们被分流到了哪里。

两种拍卖规则完全不同，卖家的期望收入却一模一样。一价拍卖里，出价最高的人付自己的出价，所以理性的人一定会压价——均衡出价是 (n−1)/n × 真实估值，人越多压得越少（下面那条橙线的斜率越来越接近 1）。二价拍卖里，赢家付第二高的出价，于是照实出价是占优策略：不管别人怎么出，出真实估值都不比出别的差。（想一想就明白：压价只会让你在本该赢的时候输掉，抬价只会让你在本该输的时候以高于估值的价格赢。）结果呢？两种规则下卖家的期望收入都等于 (n−1)/(n+1)，和模拟值对得严丝合缝。这就是收入等价定理：在一系列标准假设下（估值独立同分布、风险中性、物品分配给估值最高的人），一大类拍卖机制给卖家带来的期望收入都相同。一价的高出价被低报价抵消，二价的真实报价被"只付第二高"抵消，两边正好打平。那为什么现实中还要分？因为假设会破。买家风险厌恶时一价收入更高；存在共同价值成分（比如油田拍卖）时会出现赢家诅咒；而二价的最大优势是参与者不需要猜别人怎么想——这也是很多广告竞价系统采用它的原因。最后注意人数的影响：n 从 2 涨到 12，卖家收入从 0.33 涨到 0.85。拍卖设计里最有效的一招从来不是改规则，是多找几个买家。