经典预测模型

简单指数平滑的预测值是全部历史的加权平均，权重按 α(1−α)^k 指数衰减。右下那张图画的就是这组权重。α = 0.3 时，最近一期占 30%，往前一期占 21%，大约 2 期之后权重就掉到一半——它其实只"记得"最近几期。α = 0.05 时半衰期变成 13 期多，预测线几乎是一条水平线。选"中途水平跳变"这组数据，把 α 在 0.05 和 0.6 之间来回拖。α 小的时候，跳变之后要好久才追上去；α 大的时候追得快，但平时也跟着噪声上下抖。这就是所有平滑参数的本质取舍：追得快 vs 抗噪好，二者不可兼得。最后注意一件事：简单指数平滑的多步预测是一条水平直线。它没有趋势项，所以对有趋势的数据一定会系统性地低估或高估——选"有趋势"那组数据看看，这就是下一个实验台要加趋势项的原因。

三个模型是层层叠加的：SES 只有水平，Holt 加趋势，Holt-Winters 再加季节。在这组有趋势有季节的数据上，读数里三个 MAE 会差出好几倍——缺一个成分，预测就会在那个成分上系统性地错。这不是参数调不好，是模型里没有那一项。三个平滑参数各管一件事：α 管水平更新的快慢，β 管趋势的更新，γ 管季节形状的更新。把 β 调到 0：趋势被冻在初始估计上，预测会慢慢偏离。把 β 调大：趋势跟着最近的波动乱变，长期预测会飞出去——这是 Holt 类方法最常见的事故，所以实践中常用"阻尼趋势"（damped trend）把远期的趋势按比例衰减。最后一定要看那个"季节朴素法"的读数：它只是"照抄去年同期"，什么都没学。你的模型如果赢不了它，那它就没有存在价值。

信息准则做的事很简单：在"拟合得好"和"参数少"之间定一个兑换率。AIC 每多一个参数罚 2，BIC 罚 ln(n)。样本量 250 时 ln(n) ≈ 5.5，所以 BIC 比 AIC 保守得多，倾向于选更小的模型。在这个实验台默认的几组数据上，AIC 和 BIC 对 AR(1)、AR(2)、AR(4) 都选中了正确阶数——数据干净、样本够长的时候，两者通常一致。差别要在样本短或信噪比低的时候才显出来：把噪声调大、样本长度调到 60，两条曲线都会变平，最低点开始左右漂移，这时"最优阶数"本身就带着相当大的不确定性。理论上 BIC 有相合性（n 足够大时选中真模型的概率趋于 1），而 AIC 的过选概率是一个不随 n 消失的常数——但两者的目标本来就不同：BIC 想选中真模型，AIC 想让预测误差最小。如果真模型根本不在候选集里（现实中几乎总是如此），AIC 常常更实用。还要注意：信息准则只能在同一份数据、同一个似然定义下比较。差分阶数不同的两个模型不能直接比 AIC，因为它们的因变量已经不是同一个东西了——这是 ARIMA 定阶时最常见的一个错误。

预测区间为什么越走越宽？因为 h 步之后的误差是 h 个随机冲击累积起来的。对简单指数平滑（等价于 ARIMA(0,1,1)），h 步预测误差的方差是 σ²·[1 + (h−1)α²]，α 越大，区间张开得越快——因为大 α 意味着模型更信新数据，也就更容易被新的冲击带偏。读数里的"两者之比"可以直接和这个公式对上：α = 0.1、h = 24 时是 1.109，α = 0.8 时是 3.965。（图上那条虚线是 √h，它对应 α = 1，也就是纯随机游走的情形。）最值得看的是覆盖率那一栏。这个实验台里的数据本身就是随机游走，理论上最合适的 α 是 1。你把 α 调到 0.1——公式照样算得对，区间照样画出来，但实测覆盖率只有 69%，而名义上是 95%。把 α 拉到 0.8，覆盖率回到 92%。区间的可信度取决于模型对不对，而不只取决于公式算得对不对。真实数据上情况只会更糟：区间通常只算了随机误差，没算参数估计误差、模型选错的误差、以及结构变化的可能。所以有一条很实在的经验：把你算出来的预测区间再放宽一点，它几乎肯定是偏窄的。