用数据定参数

逻辑斯蒂曲线有三个参数：容量 K、增长率 r、拐点时刻 t₀。这里用单纯形法（Nelder–Mead）直接最小化平方误差，默认参数下拟合值和真值贴得很紧：K=9.91 对 10，r=0.479 对 0.5，t₀=9.92 对 10。下面那张残差图比上面的拟合图更重要。残差应该看起来像纯噪声：围绕 0 上下随机跳，没有任何趋势、没有成段的正或负。默认参数下就是这样。现在把真实增长率 r 拖到 1.5（曲线变得非常陡），同时把观测点数降到 8。你会发现拟合仍然"成功"了，但残差图上开始出现结构——点太少，模型可以从任何方向穿过它们。残差图是拟合工作里最便宜也最有用的诊断。如果残差呈系统性的弧形，说明模型形式选错了（比如真实曲线不对称，而逻辑斯蒂是对称的）；如果残差的幅度随时间增大，说明噪声不是等方差的，应该用加权最小二乘；如果残差有明显的自相关，说明观测之间不独立，直接用最小二乘会低估参数的不确定性。拟合得好不好，看的从来不是 R²，是残差。

灵敏度分析回答的是："如果这个参数动一点，结果会动多少？"这三条曲线是把每个参数各扰动一点点、看输出变化多少画出来的（都按容量 K 归一化，所以可以直接比较）。三条曲线的形状完全不同，而这正是关键。对 K 的灵敏度（蓝）在后期最大——早期数量还远没到上限，容量是多少根本看不出来。对 t₀ 的灵敏度（绿）集中在拐点附近，因为整条曲线在那里最陡，左右平移一点点，中段的值就变很多。对 r 的灵敏度（橙）是一条反对称的双峰：拐点前后各一个极值，而在拐点处恰好为 0——增长率变了，曲线绕着拐点转，拐点本身不动。这三张图直接决定了"该在什么时候测量"。如果你最关心容量 K（比如市场总容量、疫情最终规模），早期数据几乎不含这个信息，再密的早期采样也没用。这就是为什么疫情早期对最终规模的预测极不可靠——不是模型不好，是数据里根本没有那个信息。反过来，如果你要估增长率 r，拐点附近的数据反而没什么用，两侧的才有用。实验设计的核心就是这件事：在灵敏度大的地方多测，在灵敏度为 0 的地方测了也白测。（这套思路在化学动力学、药代动力学、可靠性试验里叫"最优实验设计"，它的数学形式就是最大化 Fisher 信息矩阵的某个标量。）

模型是 y = V(1 − e^{−kt})，真值 V=10、k=0.5。把观测窗口拖到只有 t ≤ 0.5（远小于时间常数 1/k = 2），然后看那三行读数：V 拟合成了 69 ± 104，k 拟合成了 0.54 ± 0.45——两个都等于没估出来。可是它们的乘积 V·k = 5.03 ± 0.42，精确得不得了（真值正好是 5）。原因写在泰勒展开里：当 t 很小时，y ≈ V·k·t，数据里只有乘积这一个量的信息，V 和 k 各自是多少完全看不出来。误差曲面上那条长长的橙色山谷就是它：沿着绿虚线（V·k 不变）走，误差几乎不变——这叫"实际不可辨识"，红色的散点正好铺在这条谷底上，相关性接近 −1。把观测窗口一路拖到 t ≤ 10（五倍时间常数）：V 收到 9.99 ± 0.06，k 收到 0.502 ± 0.009，两个都被钉死了。同一个模型，同一套算法，唯一的区别是数据覆盖的时间范围。这个例子值得反复讲，因为它说明了三件事：第一，拟合算法收敛不代表参数被识别了——它每次都给你一个数，而那个数可能毫无意义。第二，看参数的标准差和相关矩阵，比看 R² 有用得多：相关性接近 ±1 就是不可辨识的警报。第三，不可辨识不一定是坏事：如果你真正关心的是那个乘积（比如初始速率），那么短窗口的数据完全够用，硬要把 V 和 k 分开反而是在给自己找麻烦。关键是先想清楚要估的到底是什么。

做一次拟合，你得到一组数。做两百次，你才知道这组数有多可信。这里的做法是：同一条真实曲线，每次重新加一组噪声，重新拟合一遍，把每次得到的 (r, t₀) 画成一个点。这一团点的散布，就是参数的不确定性。红点是真值，它应该落在点云的中心——如果明显偏离，说明估计是有偏的。把噪声从 0.06 拖到 0.30，点云会显著变大；把观测点数从 30 加到 80，点云会缩小大约 √(80/30) ≈ 1.6 倍。这个 1/√n 的规律和前面随机游走那一页说的是同一件事。再看那个相关性读数。点云通常不是一个圆，而是一个倾斜的椭圆——这说明两个参数的估计误差是相关的：如果这次把 r 估大了，t₀ 往往也会被估偏到某个方向。这一点在报告结果时很容易被忽略：分别给出 r 和 t₀ 的置信区间，会让人以为 (r 的上界, t₀ 的上界) 这个组合也是可能的，而事实上椭圆可能根本不覆盖那个角落。正确的做法是给出联合置信域，或者至少报出相关系数。最后把"数据覆盖到 t"拖小到 8（只看到拐点之前）。点云会一下子拉长很多倍——这又回到了上一个实验台：看不到曲线拐弯，就无法把"增长得快"和"拐点来得早"区分开。