状态空间与卡尔曼滤波

卡尔曼滤波每一步只做两件事：先按模型往前推一步（预测），再用新观测把预测拉一把（更新）。拉多少由一个数决定，就是卡尔曼增益 K：新估计 = 旧预测 + K ×（观测 − 旧预测）。K 接近 1 就是"几乎完全相信观测"，K 接近 0 就是"几乎完全相信模型"。把过程噪声 Q 和观测噪声 R 的比例调一调，看增益怎么自动跟着变。Q/R = 0.001 时 K = 0.031——状态自己很稳，观测很脏，那就基本别听观测的；Q/R = 0.1 时 K = 0.270；Q/R = 1 时 K = 0.618（正好是黄金分割，因为这时 K 满足 K² + K = 1）。这个增益不是调参调出来的，是从 Q 和 R 算出来的——这是卡尔曼滤波比"手动设一个平滑系数"高明的地方：你只需要说清楚两种噪声有多大，最优权重自己就出来了。读数里的改善倍数值得注意：默认参数下滤波把误差从 0.97 压到 0.36，改善 2.7 倍。Q 越小（状态越稳）改善越大：Q/R = 0.001 时能改善 4.7 倍。反过来如果状态本身就乱跳（Q 很大），滤波几乎没有可利用的结构，改善只剩 1.2 倍。　新加的第二张图解释了 Q 和 R 这两个滑杆到底在改什么。它们不直接改上面那条估计曲线，它们改的是增益 K = P / (P + R)——也就是每一步「信观测几分、信预测几分」。K = 1 表示完全照抄观测（等于没滤波），K = 0 表示完全不看数据（等于闭着眼睛推）。橙线一开始接近 1，十几步之内就掉到一条水平线上并且再也不动了。那条灰虚线是稳态增益的闭式解 K∞ = (−λ + √(λ² + 4λ)) / 2，其中 λ = Q/R；实测两者完全重合，读数里的「理论值」和实测值也是一模一样的。卡尔曼滤波不是一个平滑器，它是一个会自己算出该多平滑的权重机器——而且这个权重在十几步之内就收敛了，之后整个滤波器等价于一个固定系数的指数平滑。接下来是这一台最值得记住的一件事：只有 Q/R 的比值有意义，绝对值没有。实测 Q=0.010 / R=1.00 时 K∞ = 0.0951；把 Q 调到 0.050 得 K∞ = 0.2000；而 Q=0.010 配 R=0.20 —— 两个数都变了，比值同样是 0.05 —— K∞ 还是 0.2000，一模一样。所以调这个滤波器只有一个旋钮：你认为「系统自己会变」和「测量不准」哪个更严重。认为系统变得快（Q 大）就多信新观测，认为测量脏（R 大）就多信自己的预测。这也解释了为什么实践中大家常说「Q 和 R 只能调出一个比例」，以及为什么把两个都乘以 10 是白费力气。蓝虚线是估计的不确定 P，它和 K 同步收敛。注意 P 收敛到的是一个不为零的值：观测一直有噪声，系统一直在变，不确定性不会随着数据变多而降到零，它只会降到一个由 Q 和 R 共同决定的地板上。

下面那张图才是这一页的重点：速度从来没有被观测过，滤波器却把它估出来了。状态是二维的 [位置, 速度]，而观测只有位置这一维。滤波器之所以能推出速度，靠的是状态方程里那句"新位置 = 旧位置 + 速度 × Δt"——这条约束把两个分量绑在了一起，于是"位置一直在稳步增加"这个事实，就成了关于速度的信息。这就是状态空间模型最有价值的能力：通过模型结构，从可观测量里反推不可观测量。同样的机制在现实里到处都是：手机只有加速度计和陀螺仪，却能给出位置和姿态；GPS 只有几个伪距，却能同时解出位置、速度和钟差；发动机只有温度和压力传感器，却能估计出内部的磨损状态。把观测噪声 R 拖大再看。位置估计依然比原始观测准得多（读数前两行），而速度那条橙线会变得更平滑但反应更慢——噪声越大，滤波器越"保守"，跟踪真实变化的延迟就越长。这个延迟和精度的取舍是滤波器设计的核心矛盾，也是为什么 Q 和 R 必须认真估，而不是随便填。

这一页要说的事很简单：指数平滑其实就是卡尔曼滤波，只不过增益是拍脑袋定的。局部水平模型是最简单的状态空间模型：状态做随机游走，观测等于状态加噪声。在这个模型上，卡尔曼滤波稳定以后的更新公式是新估计 = K × 观测 + (1−K) × 旧估计——这和指数平滑一模一样，而 K 就是 α。把你设的 α 拖到和读数第一行的稳态增益一样，两条线会几乎重合。误差读数里第三行给了两个数：完整卡尔曼滤波，和"直接用稳态增益做指数平滑"，两者只差一点点——差别只出现在最开始的几步，因为完整滤波在信息还少的时候会用更大的增益，收敛得更快。这个等价关系有很实际的含义。很多人凭经验选 α = 0.2 或 0.3，而状态空间的语言告诉你这个选择意味着什么：α = 0.3 等价于"我认为过程噪声约是观测噪声的 0.13 倍"。如果你能对这两种噪声做出估计（通常可以），就不必再拍脑袋，可以用极大似然把 Q 和 R 估出来，α 自动跟着定。这也是现代预测软件（比如 ETS 状态空间框架）的做法：把所有指数平滑家族都写成状态空间模型，然后用似然统一地估参数、选模型、算预测区间。

卡尔曼滤波有一个很漂亮的性质：缺数据它照样能跑。看灰底那一段：完全没有观测，滤波器只做预测不做更新，于是估计沿着模型继续走，同时它的不确定度（这里没画出来）会一步步变大。不需要任何插值，不需要特殊处理——缺失在状态空间框架里只是"这一步没有更新"而已。这是它相对滑动平均、ARIMA 等方法的一大优势：后者遇到缺失往往要先补值，而补值本身就会引入偏差。但它有一个明显的弱点：对离群点毫无抵抗力。把离群点的幅度拖大，看橙线怎么被一把拽走，然后要花好几步才慢慢爬回来。原因在那条更新公式里：它假设新息（观测 − 预测）服从高斯分布，而高斯分布认为大偏差几乎不可能发生，所以一旦真的发生，滤波器会认为"是状态变了"而不是"数据错了"。绿线是一个很简单的稳健化：把新息限幅在三个标准差以内。这一行代码就让滤波器对离群点几乎免疫，而在正常数据上和原版没有区别。（更正规的做法是把高斯噪声换成厚尾分布，或者用带异常检测的滤波器，但限幅这一招在工程上非常常用，因为它便宜且有效。）