复平面上的分形
把平面看成复数，迭代式就只剩一行：z ← z² + c。对每个 c 问一句"从 0 出发会不会跑到无穷远"，答案画成黑白两色，就是曼德博集合。它的边界处处不光滑、处处是自己的缩影，而生成它的全部信息，只有那一行公式。
LAB 01
曼德博集合
点击放大，逐级深入边界，看同样的形状在不同尺度反复出现
问题
一个只有一行的迭代式，为什么能在复平面上画出一个无限复杂、放大多少倍都不重复的边界？曼德博集合的定义比它的图像简单得离谱——这个反差本身就是这一页要讲的事。
模型
对每个复数 c，从 z₀ = 0 开始迭代，看轨道是否有界。
zn+1 = zn² + c， M = { c ∈ ℂ : supn |zn| < ∞ }， 判据：|zn| > 2 即逃逸
|z| > 2 之后必然发散，所以 2 是一个可靠的逃逸半径。M 的边界的豪斯多夫维数是 2（Shishikura 1998）——它"细"到把平面填满的程度。中心—
放大倍数—
每像素跨度—
点图放大，注意边界上重复出现的小曼德博。放大到 10⁵ 倍以上你还会看到和全景一模一样的形状，只是被拉扯过。这不是巧合：边界上每一点附近的动力学都"复制"了整体的动力学。另外留意放大倍数越高、需要的迭代次数越多——这是判定"是否属于集合"本身就不可约的一个直接表现。
LAB 02
朱利亚集
在曼德博平面上拖动 c，右边的朱利亚集实时跟着变形、连通性在边界上翻转
问题
曼德博集合和朱利亚集用的是同一条迭代式，区别只在于"谁是变量"。而两者之间有一条惊人的对应：c 在曼德博集合里面，对应的朱利亚集就连通；c 在外面，就碎成尘埃。
模型
固定 c，对每个起点 z₀ 看轨道是否有界。
Jc = ∂{ z₀ : 轨道有界 }； Jc 连通 ⟺ c ∈ M（基本二分定理）
这就是曼德博集合的真正定义：它是"朱利亚集连通"的那些 c 构成的集合，而不是一张好看的图。这一台让你拖动 c，实时看右边的朱利亚集在边界上翻转。曼德博平面 · 拖动选 c
朱利亚集 J(c)
当前 c—
朱利亚集是否连通—
0 的逃逸步数—
左边的黑色区域，正好就是"右边连通"的那些 c。这是曼德博集合真正的定义：c 属于曼德博集合 ⟺ J(c) 是连通的 ⟺ 从 0 出发的轨道不跑到无穷。把光标停在边界上试试——只要挪出去一点点，右边的朱利亚集就会从一整块炸成一把尘埃。
LAB 03
牛顿分形
解 z³−1=0：每个像素按收敛到哪个根上色，三片流域的边界处处是分形
问题
牛顿法解方程时，初值决定收敛到哪个根。那么"哪个初值去哪个根"这张地图长什么样？答案让十九世纪的数学家困惑了很久：三片流域的边界上，任何一点的任意小邻域内都同时有三种颜色。
模型
对 f(z) = z³ − 1 用牛顿迭代，按收敛到的根上色。
zn+1 = zn − f(zn) ⁄ f′(zn) = zn − (zn³ − 1) ⁄ (3zn²)
三个根是 1, e2πi/3, e4πi/3。边界是 Julia 集，具有"三重点"性质：三片流域在边界上处处相邻——这在实数轴上是不可能发生的。根的个数—
最慢收敛像素—
未收敛像素占比—
三块流域的边界上，每一点都同时挨着三种颜色。这叫"三重交点性质"：任取边界上一点，它的任意小邻域里都同时含有收敛到三个根的点。这件事的实际含义是——牛顿法的初值只要落在边界附近，结果就完全不可预测，哪怕方程本身干净得只有三个根。
LAB 04
逃逸时间与着色
换迭代上限、换着色函数，看「同一个集合」能呈现出多少种样子
问题
同一个集合，换一种上色方法就像换了一张图。那么我们看到的"分形之美"里，有多少是数学的，有多少是渲染的？这一台把迭代上限和着色函数单独拎出来，让你看清哪一部分是自己加上去的。
模型
逃逸时间着色，以及消除色带的平滑修正。
nsmooth = n + 1 − log₂( log|zn| ) （|zn| 首次超过逃逸半径时）
直接用整数 n 上色会出现明显的同心色带；上面这个修正把逃逸时间变成连续量，色带就消失了。迭代上限决定了你能看多深——上限太低，边界附近的结构会被误判成"属于集合"。判为内部的像素—
平均逃逸步数—
可见色阶数—
集合没变，变的只是你怎么看它。"只分内外"丢掉了迭代次数这个信息，图就成了一团黑；分带把它捡回来，于是边界结构显形；连续着色再把带间的锯齿抹掉。这是所有科学可视化都要面对的同一件事：数据没变，编码方式决定了你能看见什么——也决定了你可能误以为看见了什么。
这一页想说的
一行迭代式，四种看法，四张完全不同的图。值得记住的是最后那件事：曼德博集合的复杂度并不"存放"在公式里，公式只有 z²+c；复杂度是迭代这个过程生成的。这跟元胞自动机那一页说的是同一件事——规则的简单与行为的复杂之间，没有必然联系。建模时这意味着：一个模型看起来简单，不等于它的行为好预测。