频域方法

任何周期信号都能写成正弦的叠加，这就是傅里叶级数。关键在于各次谐波的幅度衰减得多快——衰减越快，需要的项越少。三角波的谐波按 1/k² 衰减，五六项就几乎看不出差别；方波和锯齿波按 1/k 衰减，要几十项；尖脉冲几乎不衰减，需要极多项。这个规律有一个很实用的含义：信号越光滑，频谱越集中，越容易压缩。JPEG、MP3 这类压缩算法的全部基础就是这一句话。再看方波跳变处那个甩出去的小尖角。不管你加多少项，它的高度都稳定在跳变幅度的 9% 左右，只是越来越窄——这就是吉布斯现象。（读数给的是相对波形幅度 1 的百分比：方波上约 18%，而方波的跳变幅度是 2，18% ÷ 2 就是那个 9%。）它提醒一件事：用有限项的傅里叶展开去逼近不连续信号，误差不会均匀地变小，而是集中到了不连续点附近。在时间序列里，这意味着突变点（政策调整、疫情、系统上线）会在频域方法里造成局部的失真。

上面那条曲线看起来只是一团噪声，下面的周期图却有两根清清楚楚的尖峰。这就是频域方法最直接的价值：周期性信号在时域上被噪声摊平了，在频域上却被集中到一个点上。n 个点的能量集中到一根谱线上，信噪比大致提高 √n 倍——所以把序列长度从 64 拉到 1024，本来淹没的峰会浮出来。把噪声一路调大，看峰什么时候消失。信号幅度是 1：噪声到 1.5 时峰值/背景还有 90 倍，要把噪声推到十倍以上、同时把序列缩短到 128，峰才会真的埋进去。读数里的"峰值 / 背景中位数"是一个实用的判据：这个比值在 10 以上通常是真的，低到 3 以下就要小心——周期图上的随机起伏本身就很大（它的方差不随 n 减小），一根不高的峰完全可能是噪声。这也是为什么实践中常用平滑周期图或 Welch 方法：牺牲一点频率分辨率，换取估计的稳定。最后注意分辨率：两个周期靠得太近（比如 12 和 13）时，它们在周期图上会并成一个峰，分辨两者所需的序列长度，大致与它们频率差的倒数成正比。

滤波在频域上做的事非常简单：把一部分频率的幅度乘以 0，其余不变。数据里埋着一个周期 24 的季节信号、一条缓慢的趋势、和一堆噪声。低通留下慢的部分，同时得到趋势和季节，噪声被滤掉；高通把趋势去掉，只留下季节和噪声——这等价于做差分，但比差分更可控（差分是一个固定形状的高通滤波器）。注意高通的截止周期要设在季节周期之上：默认的 20 小于 24，会把季节一起滤掉（相关系数只有 0.04），调到 32 才对（0.80）——读数里那个"相关系数最高的截止周期"就是在提示这件事。带通只留下截止周期附近的一小段，可以把季节单独挑出来。把截止周期慢慢拖过 24 这个位置，盯着相关系数。它会先升后降：截止太紧，季节信号被削掉；截止太松，噪声被放进来。最高点附近就是最优取舍，读数里给了这个位置。这条"先升后降"的曲线你应该已经很熟悉了——它和偏差—方差、和正则化强度、和 K 折的 K，是同一件事的不同外衣。另外提醒一句：这里用的是最简单的理想矩形滤波，它在时域上会产生振铃（又是吉布斯现象）；实际工程中会用 Butterworth、Hamming 窗等平滑过渡的滤波器。