迭代与自相似
分形不是画出来的，是长出来的。规则只有一条——把每一段换成若干段更小的，然后对新的每一段再做一次。重复几轮之后，出现的结构比规则本身复杂得多：无限长的边界围着有限的面积，任意放大一段还是同一个样子。
LAB 01
科赫曲线
逐级迭代，同时显示周长怎么按 (4/3)ⁿ 发散而面积收敛
问题
一条曲线能不能周长无穷、面积有限？这听起来像悖论，但科赫在 1904 年就造出来了。这一台逐级迭代，同时盯住周长和面积两个数，看它们分别往哪儿去。
模型
每一级把每条线段换成 4 段、每段长 1/3。
Ln = (4/3)n L₀ → ∞， An → (8/5) A₀（有限）， D = log4 ⁄ log3 ≈ 1.2619
L 是周长，A 是面积，D 是自相似维数。维数在 1 和 2 之间，正是"比线多、比面少"的量化说法。线段数—
周长（初始边=1）—
面积（初始三角=1）—
分形维数—
注意周长与面积的分头走向：每迭代一次，线段数乘 4、每段长度除以 3，所以周长按 (4/3)ⁿ 发散；而新增的面积每轮只有上一轮的 4/9，是个收敛的几何级数，总面积停在初始三角形的 8/5。无限长的边界围着有限的面积——这不是悖论，只是"长度"这把尺子量不了这种曲线，要换成维数。
LAB 02
谢尔宾斯基
三角形挖洞版与混沌游戏版并排，说明「随机也能画出确定的图」
问题
同一个谢尔宾斯基三角形，可以用"挖洞"确定性地造出来，也可以靠掷骰子随机地画出来——而且随机那种画得一模一样。这是怎么回事？随机为什么会收敛到一个确定的形状？
模型
混沌游戏：随机选一个顶点，往它走一半，重复。
xn+1 = ½ ( xn + vr )， r 均匀随机取 1,2,3; D = log3 ⁄ log2 ≈ 1.585
三个映射都是压缩映射（压缩比 ½），由 Hutchinson 定理，它们的吸引子唯一存在。随机只决定走的顺序，不影响最终落点的集合。三角形 / 点数—
剩余面积占比—
分形维数—
同一个图形，两条完全不同的路：挖洞法是确定的——每一步都精确规定挖掉哪块；混沌游戏则是纯随机——随便挑一个顶点，走到当前点与它的中点，重复几万次。随机的过程画出了一个确定的图形，因为那三条"走到中点"的映射把平面压缩到同一个吸引子上，起点在哪、掷骰子掷出什么，都不影响最后的形状。
LAB 03
L-系统
自己编辑替换规则和转角，长出蕨叶、树、龙形曲线
问题
蕨叶、树枝、血管的分叉看起来复杂，但它们的"生成规则"可能只有一行字。L-系统是生物学家 Lindenmayer 1968 年为描述植物生长发明的，现在是计算机图形学里生成植被的标准工具。
模型
L-系统 = 字母表 + 公理 + 替换规则，字符串再交给"海龟"解释成图形。
公理 ω，规则 P：A → AB, B → A … 海龟：F 前进、+ 左转 δ、− 右转 δ、[ ] 存取状态
δ 是转角。同一条规则换一个转角就从"蕨叶"变成"雪花"——这一台的两个滑杆正是规则和转角。指令串长度—
替换规则—
规则就写在读数里。L-系统把图形压缩成一条字符串和几条替换规则：F 表示前进一步，+ − 表示左右转，[ ] 表示"记住当前位置，画完分支再回来"。改一下转角，蕨叶会变成完全不同的植物；真实植物的形态多样性，很可能也来自类似这样几个参数的差别。
LAB 04
迭代函数系统
调四组仿射变换的系数，看吸引子如何随参数连续变形
问题
上一台的蕨叶是用"画法"造出来的。能不能反过来：给定一个形状，找出生成它的那几个变换？能——而且这正是分形图像压缩的原理：用参数代替像素。
模型
迭代函数系统（IFS）：一组压缩仿射变换，其吸引子唯一。
wi(x) = Aix + bi， ‖Ai‖ < 1； 吸引子 K = ∪i wi(K)
拼贴定理（Barnsley）：如果一组变换的像拼起来和目标形状很接近，那么它们的吸引子也和目标形状很接近。巴恩斯利蕨只需要 4 组仿射系数共 24 个数。仿射变换个数—
平均压缩率—
估计维数—
四组数字决定一片蕨叶。迭代函数系统就是几个"缩小 + 旋转 + 平移"的仿射变换，按各自的概率反复作用在一个点上，轨迹落成的那个集合就是吸引子。拖"扭曲"那根滑杆，你改的只是第一组变换里的旋转角——但整片蕨叶的姿态会跟着变，因为每一层小叶都是这个变换套出来的。
这一页想说的
这一页的四个实验台用的是同一件事：一条把"整体"换成"若干个缩小版整体"的规则，重复。科赫曲线换的是线段，谢尔宾斯基换的是三角形，L-系统换的是字符串，IFS 换的是点的位置——形式不同，骨架都是自相似。建模时遇到"结构在不同尺度上重复出现"的对象（河网、血管、裂纹、价格序列），先问一句能不能用一条迭代规则描述它，往往比直接拟合一个复杂曲面省力得多。